Операторы в гильбертовых пространствах

Пусть $P \in \mathcal{B}(H)$ — проектор гильбертова пространства $H$ на некоторое его подпространство. Доказать, что $P$ является ортопроектором тогда и только тогда, когда для любых $x, y \in H$ справедливо равенство $(P x, y) = (x, P y).{ }$¹

Пусть $P$ — ортопроектор в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что он ограничен, и найти $\left\| P\right\|$.

Пусть $P_{1}$ и $P_{2}$ — ортопроекторы в гильбертовом пространстве $H$. Обозначим подпространства $H_{1} = \operatorname {Im} P_{1}$ и $H_{2} = \operatorname {Im} P_{2}$. Доказать, что если $H_{1} \subset H_{2}$ (или, наоборот, $H_{2} \subset H_{1}$) и $\left\| P_{1}-P_{2}\right\| < 1$, то $P_{1} = P_{2}$. Привести пример таких двух ортопроекторов $P_{1} \neq P_{2}$, что $\left\| P_{1}-P_{2}\right\| < 1$.

В обозначениях предыдущей задачи доказать, что если $\left\| P_{2}-P_{1}\right\| < 1$, то $\operatorname {dim} H_{1} = \operatorname {dim} H_{2}$. Привести пример двух таких ортопроекторов $P_{1}$ и $P_{2}$, что $\left\| P_{2}-P_{1}\right\| = 1$ и $\operatorname {dim} H_{1} \neq \operatorname {dim} H_{2}$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, $P$ — ортопроектор на собственное подпространство $H_{0} \subset H$. Что можно утверждать про $\operatorname {Im} A$ и Ker $A$ оператора $A \in \mathcal{B}(H)$, если

Доказать, что если в условиях предыдущей задачи выполнено равенство $A P = P A$, то $A\left(H_{0}\right) \subset H_{0}$. Доказать, что обратное неверно.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а $B: H \times H \rightarrow \mathbb {C}$ линейная по первому аргументу, сопряжённо-линейная по второму аргументу и непрерывная по каждому аргументу форма. Доказать, что найдётся такой оператор $A \in \mathcal{B}(H)$, что $B(x, y) = (A x, y)$ для любых $x, y \in H$.

Для любого $M > 0$ привести пример такого оператора $A$ в гильбертовом пространстве $H$, что для некоторого ортонормированного базиса $\left\{ e_{n}\right\}_{1}^{\infty }$ все нормы $\left\| A e_{n}\right\|$ ограничены единицей, но $\left\| A\right\| > M$.

Пусть $\sum_{i = 1}^{\infty } \sum_{j = 1}^{\infty }\left|a_{i j}\right|^{2} < \infty$, а $\left\{ e_{i}\right\}_{1}^{\infty }$ — произвольный ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $H$. Доказать, что существует такой оператор $A \in \mathcal{B}(H)$, что $\left(A e_{i}, e_{j}\right) = a_{i j}$. Привести пример линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве, матрица которого (в любом ортонормированном базисе) не удовлетворяет указанному неравенству.

Пусть оператор $A$ действует в пространстве $l_{2}$, и в некотором ортонормированном базисе его матрица имеет вид $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$, $a_{i j} \geqslant 0$ для всех $i, j$. Доказать, что если для этой матрицы найдутся такие числа $p_{j} > 0, j = 1,2, \ldots$, и $\alpha , \beta > 0$, что

(неравенства Шура), то оператор ограничен, причём $\left\| A\right\|^{2} \leqslant \alpha \beta$.

Доказать, что оператор $A$ с матрицей $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$, где $a_{i j} = \frac{1}{i+j}$ (оператор Гильберта), ограничен в $l_{2}$, причём $\left\| A\right\| \leqslant \pi$.

Пусть матрица $\left\{ a_{i j} = K(i, j)\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$ задана функцией $K(x, y)$, удовлетворяющей следующим условиям:

1. $K$ неотрицательна, причём $K(x, x) = 0$, симметрична и однородна со степенью однородности -1, т. е. $K(a x, a y) = a^{-1} K(x, y)$;

2. $\int_{0}^{\infty } K(1, y) \frac{d y}{\sqrt{y}} = k$;

3. $\frac{K(1, y)}{\sqrt{y}}$ убывает при $y \in (0, \xi ) \cup (1,+\infty )$ и возрастает при $y \in (\xi , 1)$, где $\xi \in [0,1]$. Доказать, что матрица $\left\{ a_{i j}\right\}$ задаёт ограниченный оператор $A$ в пространстве $l_{2}$, причём $\left\| A\right\| \leqslant k.$¹

Доказать, что оператор $A$ с матрицей $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$, где $a_{i j} = \frac{1}{(i+j)^{1-\alpha }|i-j|^{\alpha }}\left(a_{i j}: = 0\right.$ при $\left.i = j\right)$ с параметром $\alpha \in (0,1)$, ограничен в $l_{2}$.

Доказать, что для любого оператора $A$ в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$ можно выбрать такой ортонормированный базис $\left\{ e_{j}\right\}_{1}^{\infty }$, что для каждого $j \in \mathbb {N}$ лишь конечное число элементов $j$-го столбца матрицы $\left\{ a_{i j} = \left(A e_{i}, e_{j}\right)\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$ отличны от нуля.

Доказать, что матрица $\left\{ a_{i j}\right\}_{i, j = 1}^{\infty }$ является матрицей некоторого оператора из $\mathcal{B}\left(l_{2}, c_{0}\right)$ тогда и только тогда, когда

1. найдётся $M$ такое, что $\sum_{j = 1}^{\infty }\left|a_{i j}\right|^{2} < M$ для любого $i \in \mathbb {N}$;

2. $\lim_{i \rightarrow \infty } a_{i j} = 0$ для любого $j \in \mathbb {N}$.