Дифференциальные уравнения

Найти дифференциальное уравнение семейства линий $y=ax$ и отметить, где это просто, свойство линий, выражаемое этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ и отметить, где это просто, свойство линий, выражаемое этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий $x^{2}+y^{2}=ax$ и отметить, где это просто, свойство линий, выражаемое этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий $y=ax^{2}$ и отметить, где это просто, свойство линий, выражаемое этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий $y=ax+a^{2}$ и отметить, где это просто, свойство линий, выражаемое этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ и отметить, где это просто, свойство линий, выражаемое этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий $(x-a)^{2}+y^{2}=1$ и отметить, где это просто, свойство линий, выражаемое этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий $y=ae^{\frac{x}{a}}$ и отметить, где это просто, свойство линий, выражаемое этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства софокусных кривых второго порядка

где $\lambda$ — параметр.

Найти дифференциальное уравнение семейства циклоид $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$, где $a$ — параметр.

Найти дифференциальное уравнение семейства циклоид $x+C=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$, где $C$ — параметр.

Найти дифференциальное уравнение семейства трактрис

где $C$ — параметр.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий с несколькими параметрами $y=ax+b$ и отметить, где это просто, свойство, выраженное этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий с несколькими параметрами $y=ax^{2}+bx+c$ и отметить, где это просто, свойство, выраженное этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий с несколькими параметрами $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=1$ и отметить, где это просто, свойство, выраженное этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий с несколькими параметрами $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}$ и отметить, где это просто, свойство, выраженное этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий с несколькими параметрами $y=A\sin (x+\alpha )$ и отметить, где это просто, свойство, выраженное этим уравнением.

Найти дифференциальное уравнение семейства линий с несколькими параметрами $y=e^{x}(Ax+B)$ и отметить, где это просто, свойство, выраженное этим уравнением.

Доказать, что дифференциальное уравнение всех парабол

имеет вид

Доказать, что дифференциальное уравнение кривых второго порядка имеет вид $\left(\left(y''\right)^{-\frac{2}{3}}\right)'''=0$.

Найти систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют координаты $(x,y,z)$ точек семейства линий $y=ax$, $z=bx$.

Найти систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют координаты $(x,y,z)$ точек семейства линий $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x+y+z=b$.

Найти систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют координаты $(x,y,z)$ точек семейства линий $y=a\cos x$, $z=a\sin x$.

Найти систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют координаты $(x,y,z)$ точек семейства линий $x=a\cos t$, $y=a\sin t$, $z=bt$.

Найти дифференциальные уравнения нормалей к конусу $x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Найти дифференциальные уравнения нормалей к параболоиду $x^{2}+y^{2}=2z$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $dz=(x^{2}-y^{2})\, dx-2xy\, dy$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $dz=y\, dx+x\, dy+\dfrac {x\, dy-y\, dx}{x^{2}}$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $dz=\dfrac {x\, dx+y\, dy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+x\, dy+y\, dx$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $dz=\dfrac {2x(1-e^{y})\, dx}{(1+x^{2})^{2}}+\dfrac {e^{y}\, dy}{1+x^{2}}$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $dz=\dfrac {(x+2y)\, dx+y\, dy}{(x+y)^{2}}$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $du=\dfrac {dx-3\, dy}{z}+\dfrac {3y-x}{z^{2}}\, dz$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $du=(x^{2}-yz)\, dx+(y^{2}-xz)\, dy+(z^{2}-xy)\, dz$.

Найти потенциал сил (то есть такую функцию $u$, что $f_{x}=\dfrac {\partial u}{\partial x}$, $f_{y}=\dfrac {\partial u}{\partial y}$, $f_{z}=\dfrac {\partial u}{\partial z}$, где $f_{x}, f_{y}, f_{z}$ — проекции силы, действующей в поле), если $f_{x}=2x$, $f_{y}=f_{z}=2y+2z$.

Найти потенциал сил, если $\overrightarrow {f}=-\dfrac {\overrightarrow {r}}{\left|\overrightarrow {r}\right|^{3}}$, где $\overrightarrow {r}$ — радиус-вектор из начала координат в точку $(x,y,z)$.

Проекции силы на оси даны формулами:

Определить постоянные $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ так, чтобы сила имела потенциал $u$, и найти его.

Определить постоянные $a$ и $b$ так, чтобы выражение

было полным дифференциалом некоторой функции $u(x,y)$, и найти эту функцию.

Доказать, что выражение $\dfrac {\partial^{n+1}\ln r}{\partial x^{n}\, \partial y}\, dx-\dfrac {\partial^{n+1}\ln r}{\partial x^{n+1}}\, dy$ есть полный дифференциал некоторой функции $u$, и найти эту функцию, учитывая, что $\dfrac {\partial^{2}\ln r}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}\ln r}{\partial y^{2}}=0$.

Дифференциал длины дуги на некоторой поверхности выражается формулой $ds^{2}=A(x,y)\, dx^{2}+B(x,y)\, dy^{2}$. Введя новые переменные по формулам $u=P(x,y)$, $v=Q(x,y)$, где $P$ и $Q$ — некоторые функции, формуле для $ds^{2}$ можно придать вид $ds^{2}=du^{2}+dv^{2}$, если функции $P$ и $Q$ удовлетворяют условиям

Доказать, что для возможности подбора таких $P$ и $Q$ функции $A(x,y)$ и $B(x,y)$ должны удовлетворять условию

Проинтегрировать уравнение $(x+y)\, dx+(x-y)\, dy=0$.

Проинтегрировать уравнение $(3x^{2}+6xy^{2})\, dx+(6x^{2}y+4y^{3})\, dy=0$.

Проинтегрировать уравнение $(x^{3}-3xy^{2})\, dx+(y^{3}-3x^{2}y)\, dy=0$.

Проинтегрировать уравнение $\dfrac {x\, dx+y\, dy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\dfrac {x\, dy-y\, dx}{x^{2}}=0$.

Проинтегрировать уравнение $x\, dx+y\, dy+\dfrac {x\, dy-y\, dx}{x^{2}+y^{2}}=0$.

Найдя общий интеграл уравнения $\dfrac {2x\, dx}{y^{3}}+\dfrac {y^{2}-3x^{2}}{y^{4}}\, dy=0$, выбрать в нем постоянную $C$ так, чтобы получилась кривая, проходящая через точку $M(1,1)$.

Найдя общий интеграл уравнения $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right)dx+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)dy=0$, выбрать в нем постоянную $C$ так, чтобы получилась кривая, проходящая через точку $M(1,1)$.

Проинтегрировать уравнение $(1+y^{2})\, dx+xy\, dy=0$.

Проинтегрировать уравнение $xy(1+x^{2})y'=1+y^{2}$.

Проинтегрировать уравнение $(1+y^{2})\, dx=x\, dy$.

Найдя общий интеграл уравнения $\dfrac {x\, dx}{1+y}=\dfrac {y\, dy}{1+x}$, выделить кривую, проходящую через точку:

Найдя общий интеграл уравнения $y'\sin x=y\ln y$, выделить кривые, проходящие через точки $M(0,1)$ и $M\left(\frac{\pi }{2},1\right)$.

Найдя общий интеграл уравнения $(1+e^{x})yy'=e^{x}$, выделить кривую, проходящую через точку $M(1,1)$.

Найдя общий интеграл уравнения $x\sqrt{1-y^{2}}\, dx+y\sqrt{1-x^{2}}\, dy=0$, выделить кривую, проходящую через точку $M(0,1)$.

Найдя общий интеграл уравнения $2\sqrt{y}\, dx=dy$, выделить кривую, проходящую через точку $M(0,1)$.

Найдя общий интеграл уравнения $y\ln y\, dx+x\, dy=0$, выделить кривую, проходящую через точку $M(1,1)$.

Найдя общий интеграл уравнения $(a^{2}+y^{2})\, dx+2x\sqrt{ax-x^{2}}\, dy=0$, выделить кривую, проходящую через точку $M(a,0)$.

Найти общий интеграл уравнения $y'+x^{2}y=x^{2}$; выделить из него решение, удовлетворяющее условию:

Проинтегрировать уравнение $(1-x^{2})y'-xy=axy^{2}$.

Проинтегрировать уравнение $dy+(xy-xy^{3})\, dx=0$.

Проинтегрировать уравнение $y=xy'^{2}+y'^{2}$.

Проинтегрировать уравнение $xyy'^{2}+(x^{2}+y^{2})y'+xy=0$.

Проинтегрировать уравнение $x(1+y'^{2})=1$.

Проинтегрировать уравнение $x(1+y'^{2})^{\frac{3}{2}}=a$.

Проинтегрировать уравнение $x=\dfrac {ay’}{\sqrt{1+y'^{2}}}$.

Проинтегрировать уравнение $y\sqrt{1+y'^{2}}=y'$.

Найти кривую, у которой средняя ордината, т. е. величина $\dfrac {1}{x}\int_{0}^{x}y\, dx$, пропорциональна последней ординате.

Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести площади, заключенной между прямыми $x=0$, $y=0$, $x=\xi$ и самой кривой, равна $\frac{3}{4}\xi$.

Проинтегрировать уравнение $y'=(x-y)^{2}+1$.

Проинтегрировать уравнение $y'=\sin (x-y)$.

Проинтегрировать уравнение $y'=ax+by+c$.

Проинтегрировать уравнение $y'^{2}=ax+by+c$.

Проинтегрировать уравнение $y'=(ax+by+c)^{2}$.

Проинтегрировать уравнение $(x+y)^{2}y'=a^{2}$.

Найти общий интеграл уравнения

применив подстановку

Найти кривые, у которых длина подкасательной — постоянная, равная $a$. (Лейбниц, 1684.)

Найти кривые, у которых поднормаль повсюду равна $p$.

Найти кривые, у которых отрезок касательной, заключенный между осями, делится пополам точкой касания.

Найти кривые, у которых такой же отрезок (отрезок касательной, заключенный между осями) делится точкой касания в отношении $m:n$.

Пользуясь полярными координатами, найти кривые, пересекающие все радиус-векторы под углом $\alpha$, где $\tg \alpha =a$.

Найти кривые, у которых угол $\varphi$ от полярной оси до радиус-вектора в точку касания равен углу $\mu$ от продолжения радиус-вектора до касательной.

Такой же вопрос, что и в предыдущей задаче (угол $\varphi$ от полярной оси до радиус-вектора в точку касания равен углу $\mu$ от продолжения радиус-вектора до касательной), но $\mu =2\varphi$.

На поверхности $z^{2}=2ay$ найти линии, касательные к которым составляют с $Oz$ данный угол $\gamma$.

Тот же вопрос (найти линии, касательные к которым составляют с $Oz$ данный угол $\gamma$) для поверхности $x^{2}+y^{2}=2az$.

Найти кривые, пересекающие все параллели поверхности вращения $x^{2}+y^{2}=a^{2}\ch^{2}\frac{z}{a}$ под углом $45°$.

Тот же вопрос (найти кривые, пересекающие все параллели поверхности вращения под углом $45°$) для конуса $x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Найти кривые, пересекающие все образующие цилиндра $y=\varphi (x)$ под углом $\alpha$.

Найти локсодромию, т. е. кривую, пересекающую под углом $\alpha$ все меридианы сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$. (Здесь лучше всего для точек поверхности шара ввести сферические координаты.)

Какой угол с меридианами составляет локсодромия, идущая от Измаила на Дунае до мыса Дежнева? Их широты $45°20'$ и $66°$, а долготы $28°45'$ и $170°$ (восточная).

Найти кривую, у которой площадь криволинейной трапеции между точками оси $Ox$: $(a,0)$ и $(x,0)$ и точками кривой $A(a,m)$ и $B(x,y)$ была бы равна произведению дуги $AB$ на $m$.

Сосуд содержит $M$ см$^{3}$ раствора. В него каждую секунду непрерывно поступает $q$ см$^{3}$ воды, которая тут же размешивается. Из сосуда вытекает в секунду $q$ см$^{3}$ раствора. Доказать, что количество растворенного вещества $m$ выражается формулой $m=m_{0}e^{-\frac{q}{M}t}$, где $m_{0}$ — начальное количество вещества, а $t$ — время в секундах от начала процесса.

Канат намотан на столб радиуса $r$. Сила, прижимающая его элемент $\Delta s$ к столбу, эквивалентна величине $\frac{T}{r}\Delta s$, где $T$ — натяжение каната в данной точке. Благодаря трению элемент может скользить лишь в том случае, если движущая его сила больше, чем $kf$, где $k$ — коэффициент трения, а $f$ — сила, прижимающая элемент к столбу. Получить отсюда дифференциальное уравнение $dT=-\frac{kT}{r}\, ds$ и его общий интеграл $T=T_{0}e^{-\frac{ks}{r}}$, где $T$ — натяжение, при котором начинается скольжение, $T_{0}$ — натяжение в начальной точке.

Свет с яркостью $f_{0}$ падает на поглощающую свет среду. Считая, что поглощение слоем $\Delta x$ приближенно пропорционально $\Delta x$ и яркости $f$, доказать, что на глубине $x$ яркость выражается равенством $f=f_{0}e^{-kx}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Лучи от источника света поглощаются окружающей средой. Считая, что поглощение света между шарами с радиусами $r$ и $r+\Delta r$ и с центром в источнике света, с точностью до малых высшего порядка, равно $kf\cdot 4\pi r^{2}\Delta r$, доказать, что яркость на расстоянии $r$ от источника света равна $f_{0}\dfrac {e^{-kr}}{r^{2}}$, где $f_{0}e^{-k}$ — яркость света при $r=1$, а $k$ — коэффициент пропорциональности.

Найти кривую, которая повсюду была бы одинаково освещена (с данной освещенностью $a$) точечным источником света силы $A$. Известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния и пропорциональна синусу угла между лучом и освещаемой поверхностью.

В цилиндрический сосуд с площадью основания $S$ см$^{2}$ и высотой $H$ см равномерно вливается вода ($V$ см$^{3}$/сек) и одновременно частью выливается через отверстие в дне площадью $\sigma$ см$^{2}$. Через какое время сосуд наполнится до верху и каково условие того, чтобы он когда-нибудь наполнился? Скорость истечения определяется законом Торичелли (см. задачу 3302).

Тяжелая материальная точка массы $m$ начинает падать в сопротивляющейся среде, причем сила сопротивления зависит от скорости по закону $f=kv^{n}$. Определить закон изменения скорости во времени и путь, пройденный за время $t$ при $n=1$; $2$.

Газ с первоначальной плотностью $\rho_{0}$ и давлением $p_{0}$ находится в сосуде, вращающемся около своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Найти закон распределения давления в установившемся движении, когда все частицы газа будут вращаться с угловой скоростью $\omega$. Газ подчиняется закону Бойля-Мариотта, весом газа пренебречь.

Решить уравнение $(x+y)\, dx-(x-y)\, dy=0$.

Решить уравнение $(x^{2}+2xy-y^{2})\, dx+(y^{2}+2xy-x^{2})\, dy=0$, выделив интегральную кривую, проходящую через точку $M(1,-1)$.

Решить уравнение $x\, dy-y\, dx=y\, dy$.

Решить уравнение $y^{2}\, dx+(x^{2}-xy)\, dy=0$.

Решить уравнение $(x^{2}+xy+y^{2})\, dx=x^{2}\, dy$.

Решить уравнение $(3x^{2}+6xy+3y^{2})\, dx+(2x^{2}+3xy)\, dy=0$.

Решить уравнение $\dfrac {dx}{x^{2}-xy+y^{2}}=\dfrac {dy}{2y^{2}-xy}$.

Решить уравнение $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {2xy}{3x^{2}-y^{2}}$.

Решить уравнение $y'=\dfrac {x}{y}+\dfrac {y}{x}$, выделив интегральную кривую, проходящую через точку $M(-1,0)$.

Решить уравнение $xy'=y+\sqrt{y^{2}-x^{2}}$.

Решить уравнение $y\, dx+(2\sqrt{xy}-x)\, dy=0$.

Решить уравнение $xy'=y\ln \dfrac {y}{x}$.

Решить уравнение $y'(y'+y)=x(x+y)$, выделив интегральную кривую, проходящую через точку $M(0,0)$.

Решить уравнение $(xy'+y)^{2}=y^{2}y'$.

Решить уравнение $x^{2}y'^{2}-3xyy'+2y^{2}=0$.

Решить уравнение $(x+y+1)\, dx+(2x+2y-1)\, dy=0$.

Решить уравнение $(x-2y+5)\, dx+(2x-y+4)\, dy=0$.

Доказать, что интегральные кривые уравнения

— логарифмические спирали.

Доказать теорему: если $P\, dx+Q\, dy=0$ — однородное уравнение, а выражение $P\, dx+Q\, dy$ — полный дифференциал, то общий интеграл данного уравнения имеет вид $Px+Qy=C$, если степени $P$ и $Q$ отличны от $-1$.

Найти кривые, у которых треугольник между $Oy$, касательной и радиус-вектором из начала в точку касания — равнобедренный (три варианта).

Решить уравнение $y(1+xy)\, dx+(1-xy)x\, dy=0$.

Решить уравнение $(x^{2}y^{2}+1)y\, dx+(x^{2}y^{2}-1)x\, dy=0$.

Решить уравнение $(x^{2}-y^{4})y'-xy=0$.

Решить уравнение $\left(y+y\sqrt{x^{2}y^{4}-1}\right)dx+2x\, dy=0$.

Решить уравнение $(y^{4}-3x^{2})\, dy+xy\, dx=0$.

Решить уравнение $y^{3}\, dx+2(x^{2}-xy^{2})\, dy=0$.

Решить уравнение $(x^{2}y^{2}-1)y'+2xy^{3}=0$.

Решить уравнение $(x^{6}-y^{4})\, dy=3x^{5}y\, dx$.

Решить уравнение $2y'+y^{2}+\dfrac {1}{x^{2}}=0$.

Решить уравнение $x^{2}(y'+y^{2})=a(xy-1)$.

Решить уравнение $xy^{2}(xy'+y)=a^{2}$.

Найти общий интеграл уравнения $xy'+2y=3x$; найти частный интеграл, который обращается в $y_{0}=0$ при $x_{0}=0$.

Найти общий интеграл уравнения $xy'+3y=x^{2}$.

Найти общий интеграл уравнения $y'+ay=e^{mx}$.

Найти общий интеграл уравнения $(1+x^{2})y'-2xy=(1+x^{2})^{2}$.

Найти общий интеграл уравнения $y'+2xy=2xe^{-x^{2}}$.

Найти общий интеграл уравнения $y'\sin x-y=1-\cos x$.

Найти общий интеграл уравнения $y'+y\cos x=\sin x\cos x$; найти частный интеграл, который обращается в $y_{0}=1$ при $x_{0}=0$.

Найти общий интеграл уравнения $(1-x^{2})y'+xy=1$; найти частный интеграл, для которого $y=1$ при $x=0$.

Решить уравнение $(y^{2}-6x)y'+2y=0$, приняв $y$ за независимую переменную, а $x$ — за функцию (уравнение оказывается линейным относительно $x$).

Решить уравнение $(x-2xy-y^{2})y'+y^{2}=0$, приняв $y$ за независимую переменную, а $x$ — за функцию (уравнение оказывается линейным относительно $x$).

Найти общий интеграл уравнения $xy'+y=y^{2}\ln x$.

Найти общий интеграл уравнения $y'+2xy=2x^{3}y^{3}$.

Найти общий интеграл уравнения $3y^{2}y'-ay^{3}=x+1$.

Найти общий интеграл уравнения $y^{n-1}(ay'+y)=x$.

Найти общий интеграл уравнения $dx+(x+y^{2})\, dy=0$.

Найти общий интеграл уравнения $(xy+x^{2}y^{3})y'=1$.

Решить уравнение $(x^{2}+y^{2}+1)\, dy+xy\, dx=0$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить уравнение $(x^{2}+y^{2}+2x-2y)\, dx+2(y-1)\, dy=0$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить уравнение $y'-1=e^{x+2y}$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить уравнение $xy'+1=e^{y}$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить уравнение $y'\cos y+\sin y=x+1$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить уравнение $y'+\sin y+x\cos y+x=0$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить функциональное уравнение $\int_{0}^{1}\varphi (\alpha x)\, d\alpha =n\varphi (x)$.

Найти $y$ из уравнения $\int_{a}^{x}xy\, dx=x^{2}+y$.