Разные задачи

Найти интеграл уравнения $(x+y)(1-xy)\, dx+(x+2y)\, dy=0$.

Найти интеграл уравнения $(x^{2}+xy-ay)\, dx+ax\, dy=0$.

Найти интеграл уравнения $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)dx=x\, dy$.

Найти интеграл уравнения $2x\, dx+(x^{2}+y^{2}+2y)\, dy=0$.

Найти интеграл уравнения $(x-y-4)\, dx=(x+y-2)\, dy$.

Найти интеграл уравнения $2xy'+y^{2}-1=0$.

Найти интеграл уравнения $(x^{2}+y^{2})y'=xy$.

Найти интеграл уравнения $y=xy'+y'^{2}$.

Найти интеграл уравнения $xy'+2y=\sqrt{y}$.

Найти интеграл уравнения $xy'-y=y^{2}$.

Найти интеграл уравнения $(3x^{2}+6xy+y)\, dx+(3x^{2}+x-1)\, dy=0$.

Найти интеграл уравнения $x(x-1)y'-y=(x-1)^{2}$.

Найти интеграл уравнения $(y^{2}+2xy-x)y'=y^{2}$.

Найти интеграл уравнения $(y+xy')^{2}=x^{2}y'$.

Найти интеграл уравнения $xy'=2y+\sqrt{1+y'^{2}}$.

Найти интеграл уравнения $y'^{3}-4xyy'+8y^{2}=0$.

Найти интеграл уравнения $y^{2}(1+y'^{2})=a(x+yy')$.

Найти интеграл уравнения $2y=x^{2}+xy'+y'^{2}$.

Найти интеграл уравнения $4y=(x+y')^{2}$.

Найти интеграл уравнения $4y=x^{2}+y'^{2}$.

Найти интеграл уравнения $2y=2x^{2}+4xy'+y'^{2}$.

Найти интеграл уравнения $x^{2}(y-xy')=yy'^{2}$.

Найти интеграл уравнения $x(1+y'^{2})(y-xy')=2a^{2}$.

Найти интеграл уравнения $y'=m\ln x+\ln (xy'-y)$.

Найти интеграл уравнения $x^{3}y'^{2}+x^{2}yy'+a^{3}=0$.

Найти интеграл уравнения $(x^{2}-1)y'+y^{2}-2xy+1=0$.

Найти интеграл уравнения $y=\left(y'-\frac{1}{2}\sqrt{x}\right)^{3}$.

Найти интеграл уравнения $(xy'-y)^{2}=y'^{2}-2\frac{y}{x}y'+1$.

Найти интеграл уравнения $(1+6y^{2}-3x^{2}y)y'=3xy^{2}-x^{2}$.

Найти интеграл уравнения $y^{2}-(y'^{2}+y'^{3})xy+x^{2}y'^{5}=0$.

Найти интеграл уравнения $x^{2}+y=y'^{2}$.

Найти интеграл уравнения $y'\sqrt{a^{2}+x^{2}}+y=\sqrt{a^{2}+x^{2}}-x$.

Найти интеграл уравнения $y-xy'=a(y^{2}+y')$.

Найти интеграл уравнения $\left(\sin (x+y)+x\cos (x+y)\right)dx+x\cos (x+y)\, dy=0$.

Найти интеграл уравнения $(x^{2}+1)y'+x\sin y\cos y-x(x^{2}+1)\cos^{2}y=0$.

Найти интеграл уравнения $(x^{2}+y^{2}+a)yy'+(x^{2}+y^{2}-a)x=0$.

Найти интеграл уравнения $(x^{2}y^{2}+1)y+(xy-1)^{2}xy'=0$; найти интегральную кривую, проходящую через точку $M(a,1)$.

Найти интеграл уравнения $y'^{2}-yy'+e^{x}=0$.

Найти интеграл уравнения $(x^{2}-a^{2})\, dx+2xy\, dy=0$; найти интегральную кривую, проходящую через точку $M(2a,3a)$.

Найти интеграл уравнения $y'=ay^{n}+bx^{\frac{n}{1-n}}$.

Найти интеграл уравнения $(x^{2}-y^{2})\, dx+2xy\, dy=0$; найти интегральную кривую, проходящую через точку $M(a,3a)$.

Найти интеграл уравнения $(x^{2}-1)\, dx+(x^{2}y^{2}+x^{3}+x)\, dy=0$.

Найти интеграл уравнения $2\left(x^{2}y+\sqrt{1+x^{4}y^{2}}\right)dx+x^{3}\, dy=0$.

Найти интеграл уравнения $xyy'=x^{2}y'+y^{2}$; найти интегральную кривую, проходящую через точку $M(1,1)$.

Найти интеграл уравнения $(x+2y^{3})y'=y$.

Найти интеграл уравнения $xyy'-y^{2}=(x+y)^{2}e^{-\frac{y}{x}}$.

Найти интеграл уравнения $y-(x+5)y'-y'^{3}=0$.

Найти интеграл уравнения $axy'+by=x^{m}y^{n}(\alpha xy'+\beta y)$.

Найти интеграл уравнения $(x^{n}+y^{2})\, dx-2xy\, dy=0$, $n>1$; найти интегральную кривую, проходящую через точку $M(a,0)$.

Какую форму надо придать зеркалу, поверхность которого — поверхность вращения, чтобы оно все лучи, параллельные оси, отражало в начало координат?

Найти кривые, у которых длина нормали равна расстоянию от точки касания до начала координат.

Найти такую кривую, чтобы расстояния от начала координат до касательной и до нормали в переменной точке кривой находились в постоянном отношении.

Найти кривую, у которой произведение отрезков, образованных касательной и нормалью на оси $Ox$, равно $a^{2}$.

Найти кривую, у которой отношение расстояний от нормали до двух данных точек есть величина постоянная.

Найти кривую, у которой поднормаль в любой точке равна радиус-вектору из начала координат в эту точку.

Точка движется по оси $Ox$ и тащит точку $M$, соединенную с ней стержнем длины $a$. Найти путь точки $M$ (трактриса прямой).

Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но движущаяся точка описывает окружность $x^{2}+y^{2}=a^{2}$; начальное положение точки $M$ — на полярной оси.

Найти кривую, двигаясь по которой, без трения, тяжелая точка совершала бы равномерное движение по горизонтали.

Найти кривую, скользя по которой, тяжелая точка в равные промежутки времени снижалась бы на равные расстояния.

Доказать, что функциональное уравнение $f(2x)=2f(x)$ имеет решение $f(x)=ax$, единственное среди функций, имеющих производную при $x=0$.

Найти кривые, у которых проекция ординаты на нормаль постоянна.

Найти кривые, у которых начальная ордината касательной равна абсциссе точки касания.

Найти кривые, у которых расстояние от касательной до начала координат пропорционально длине нормали.

Найти линии, у которых площадь сектора, ограниченного любыми радиус-векторами, пропорциональна длине дуги, ограничивающей этот сектор.

Найти линии, у которых середина отрезка касательной, заключенного между осями координат, лежит на параболе $y^{2}=2px$.

Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного осью $Ox$, радиус-вектором точки и касательной в ней, имеет постоянную величину $Q$.

Найти линии, у которых отрезок оси $Oy$, заключенный между касательной и нормалью, имеет постоянную длину $a$.

Найти кривые, у которых длина дуги связана с координатами ее конца так: $s=x-\dfrac {a^{2}}{y}$.

Найти кривые, у которых длина дуги $s$ пропорциональна квадрату абсциссы.

Найти кривые, у которых $s=f(y)$, где $f(y)$ — данная функция.

Найти кривую, у которой $s^{2}=8ay$.

Найти кривую, у которой $s^{2}=y^{2}-a^{2}$.

Найти кривую, у которой $y=ae^{\frac{s}{a}}$.

Найти кривые, у которых центр тяжести дуги, взятой от начала координат до любой точки, имел бы абсциссу, равную $\dfrac {1}{n}$ абсциссы конца дуги.

Найти угловые коэффициенты касательных, проведенных в точке $(1,2)$ к двум интегральным кривым уравнения $y'^{2}=y^{2}-2x+x^{2}$, проходящим через эту точку. Показать, что радиус кривизны каждой из этих кривых в этой точке равен $4$.

Найти геометрическое место точек, обладающих свойством, что две интегральные кривые уравнения $xy'^{2}-yy'+1=0$, проходящие через эти точки, пересекаются:

Найти кривую, которая после поворота около начала координат на любой угол $\alpha$ и соответствующего пропорционального изменения обеих координат совместилась бы с кривой до поворота.

Найти плоскую кривую, которая после любого растяжения ординат в $k$ раз оказалась бы себе подобной, т. е. совпадала бы с кривой, полученной из данной, пропорциональным изменением обеих координат в $\lambda$ раз.

Найти асимптотические линии коноидов $z=\varphi \left(\frac{y}{x}\right)$. (Соприкасающаяся плоскость у асимптотических линий совпадает с касательной плоскостью к поверхности.)

Найти линии кривизны гиперболического параболоида $az=xy$. Линии кривизны поверхности удовлетворяют уравнению

где

Найти линии кривизны эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$. (Монж.)