Нахождение функций по их полному дифференциалу

Найти функцию по ее полному дифференциалу $dz=(x^{2}-y^{2})\, dx-2xy\, dy$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $dz=y\, dx+x\, dy+\dfrac {x\, dy-y\, dx}{x^{2}}$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $dz=\dfrac {x\, dx+y\, dy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+x\, dy+y\, dx$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $dz=\dfrac {2x(1-e^{y})\, dx}{(1+x^{2})^{2}}+\dfrac {e^{y}\, dy}{1+x^{2}}$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $dz=\dfrac {(x+2y)\, dx+y\, dy}{(x+y)^{2}}$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $du=\dfrac {dx-3\, dy}{z}+\dfrac {3y-x}{z^{2}}\, dz$.

Найти функцию по ее полному дифференциалу $du=(x^{2}-yz)\, dx+(y^{2}-xz)\, dy+(z^{2}-xy)\, dz$.

Найти потенциал сил (то есть такую функцию $u$, что $f_{x}=\dfrac {\partial u}{\partial x}$, $f_{y}=\dfrac {\partial u}{\partial y}$, $f_{z}=\dfrac {\partial u}{\partial z}$, где $f_{x}, f_{y}, f_{z}$ — проекции силы, действующей в поле), если $f_{x}=2x$, $f_{y}=f_{z}=2y+2z$.

Найти потенциал сил, если $\overrightarrow {f}=-\dfrac {\overrightarrow {r}}{\left|\overrightarrow {r}\right|^{3}}$, где $\overrightarrow {r}$ — радиус-вектор из начала координат в точку $(x,y,z)$.

Проекции силы на оси даны формулами:

Определить постоянные $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ так, чтобы сила имела потенциал $u$, и найти его.

Определить постоянные $a$ и $b$ так, чтобы выражение

было полным дифференциалом некоторой функции $u(x,y)$, и найти эту функцию.

Доказать, что выражение $\dfrac {\partial^{n+1}\ln r}{\partial x^{n}\, \partial y}\, dx-\dfrac {\partial^{n+1}\ln r}{\partial x^{n+1}}\, dy$ есть полный дифференциал некоторой функции $u$, и найти эту функцию, учитывая, что $\dfrac {\partial^{2}\ln r}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}\ln r}{\partial y^{2}}=0$.

Дифференциал длины дуги на некоторой поверхности выражается формулой $ds^{2}=A(x,y)\, dx^{2}+B(x,y)\, dy^{2}$. Введя новые переменные по формулам $u=P(x,y)$, $v=Q(x,y)$, где $P$ и $Q$ — некоторые функции, формуле для $ds^{2}$ можно придать вид $ds^{2}=du^{2}+dv^{2}$, если функции $P$ и $Q$ удовлетворяют условиям

Доказать, что для возможности подбора таких $P$ и $Q$ функции $A(x,y)$ и $B(x,y)$ должны удовлетворять условию