Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения, приводящиеся к ним

Написать общий интеграл уравнения $y''-y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y''-5y'+6y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y''+3y'+2y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y''+2y'+y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y''-4y'+4y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y''+2y'+5y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y''+4y'+13y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y''+y'+y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y''+y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y'''-8y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y^{IV}-16y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y^{IV}+4y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y'''-6y''+11y'-6y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y'''-5y''+17y'-13y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y^{IV}-5y''+4y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y^{IV}+5y''+4y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y'''-6y''+12y'-8y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y^{IV}+2y'''+3y''+2y'+y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y^{IV}+4y'''+6y''+4y'+y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y^{IV}-y'''+y''-y'+12y=0$.

Написать общий интеграл уравнения $y^{VII}+3y^{VI}+3y^{V}+3y^{IV}=0$.

Найти частный интеграл уравнения $y^{IV}+a^{4}y=0$ при $x=0$, $y=0$, $y'=0$, $y''=0$, $y'''=1$.

Найти частный интеграл уравнения $y^{IV}+4y=0$ при $x=0$, $y=0$, $y'=0$; при $x=\pi$, $y=0$, $y'=a$.

Найти частный интеграл уравнения $y^{IV}+4y=0$ при $x=0$, $y=0$, $y'=1$; при $x=+\infty$, $y=0$.

Найти частный интеграл уравнения $y^{IV}-a^{4}y=0$ при $x=0$, $y=0$, $y'=0$; при $x=l$, $y''=0$, $y'''=b$.

При каких значениях $a$ будут существовать отличные от нуля решения предыдущей задачи в случае задания $b=0$.

Найти общий интеграл уравнения $y''+a^{2}y=e^{x}$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''-y=xe^{x}+e^{2x}$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''-3y'+2y=e^{3x}(x^{2}+x)$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y'''-4y'=xe^{2x}+\sin x+x^{2}$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''+2y'+y=e^{-x}\cos x+xe^{-x}$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''+2y'+2y=e^{-x}\cos x+xe^{-x}$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''-7y'+6y=\sin x$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''-2y'+y=\sin x+e^{-x}+e^{x}$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''+y=2\sin x\sin 2x$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''-a^{2}y=e^{bx}$ при $b\neq a$ и $b=a$, методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''+a^{2}y=\sin bx$ при $b\neq a$ и $b=a$, методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y^{IV}+2y'''+5y''+8y'+4y=\cos x+40e^{x}$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''+4y'+20y=a\sin 4x$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y'''-2y'+4y=e^{-x}\cos x+e^{x}\sin x$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y'''+y''-y'+15y=\sin 2x$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''+n^{2}y=\sin^{3}nx$ методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''+n^{2}y=ax\sin mx+b\cos mx$; $m\neq n$, методом неопределенных коэффициентов.

Найти общий интеграл уравнения $y''+n^{2}y=ax\sin nx+b\cos nx$ методом неопределенных коэффициентов.

Решить уравнение $y''+y=\tg x$.

Решить уравнение $y''-y=\dfrac {2e^{x}}{e^{x}-1}$.

Решить уравнение $y''+y=\dfrac {1}{\cos x}$.

Решить уравнение $y''+y=\dfrac {1}{\cos 2x\sqrt{\cos 2x}}$.

Решить уравнение $y''-6y'+9y=\dfrac {9x^{2}+6x+2}{x^{3}}$.

Решить уравнение $y''-6y'+9y=36\sqrt{x}-\dfrac {12x+1}{x\sqrt{x}}$.

Проинтегрировать уравнение $x^{2}y''+xy'+y=0$.

Проинтегрировать уравнение $x^{2}y''+xy'-y=0$.

Проинтегрировать уравнение $x^{2}y'''=2y'$.

Проинтегрировать уравнение $x^{3}y'''+xy'-y=0$.

Проинтегрировать уравнение $x^{3}y'''+2x^{2}y''-xy'+y=0$.

Проинтегрировать уравнение $x^{2}y''+xy'+y=x$.

Проинтегрировать уравнение $x^{2}y''-xy'+y=2x$.

Проинтегрировать уравнение $x^{2}y''-2xy'+2y=2x^{3}-x$.

Проинтегрировать уравнение $x^{3}y'''-x^{2}y''+2xy'-2y=x^{3}+3x$.

Проинтегрировать уравнение $(3x+2)^{2}y''+7(3x+2)y'=-63x+18$.

Проинтегрировать уравнение $x^{2}y''-4xy'+6y=2ax+\dfrac {12b}{x}$.

Проинтегрировать уравнение $x^{4}y^{IV}+6x^{3}y'''+5x^{2}y''-xy'+y=x^{2}$.

Проинтегрировать уравнение $(x+1)^{3}y''+3(x+1)^{2}y'+(x+1)y=6\ln (x+1)$.

Проинтегрировать уравнение $x^{3}y''-x^{2}y'-3xy+16\ln x=0$.

Проинтегрировать уравнение $(x+1)^{2}y''+(x+1)y'+y=x^{2}+2\sin \ln (1+x)$.

Проинтегрировать уравнение $x^{2}y''+xy'-y=\dfrac {x}{(x+1)^{2}}-\ln (x+1)$.

Проинтегрировать уравнение $x^{4}y'''+2x^{3}y''=1$ при условии: если $x=1$, то $y=0$, $y'=0$, $y''=0$.

Найти частный интеграл уравнения $y''-(\alpha +\beta )y'+\alpha \beta y=Ae^{\gamma x}$ ($\alpha \neq \beta \neq \gamma$), удовлетворяющий дополнительным условиям: при $x=0$, $y=a$, $y'=b$.

Найти частный интеграл уравнения $y''-(\alpha +\beta )y'+\alpha \beta y=Ae^{\alpha x}$ ($\alpha \neq \beta$), удовлетворяющий дополнительным условиям: при $x=0$, $y=a$, $y'=b$. Получить нужное решение:

Найти частный интеграл уравнения $y''-2\alpha y'+\alpha^{2}y=Ae^{\alpha x}$, удовлетворяющий дополнительным условиям: при $x=0$, $y=a$, $y'=b$. Получить нужное решение:

Найти частный интеграл уравнения $y'''-5y''+8y'-4y=e^{2x}+e^{3x}$, удовлетворяющий дополнительным условиям: при $x=0$, $y=1$, $y'=0$, $y''=0$.

Найти частный интеграл уравнения $y''+n^{2}y=h\sin^{2}nx$, удовлетворяющий дополнительным условиям: при $x=0$, $y=0$, $y'=0$.

Найти частный интеграл уравнения $y''+4n^{2}y=h\sin^{2}nx$, удовлетворяющий дополнительным условиям: при $x=0$, $y=a$, $y'=0$.

Найти частный интеграл уравнения $y'''+y=1$, удовлетворяющий дополнительным условиям: при $x=0$, $y=0$, $y'=0$, $y''=0$.

Найти частный интеграл уравнения $y^{IV}+y=1$, удовлетворяющий дополнительным условиям: при $x=0$, $y=0$; при $x=\infty$ $y$ конечная величина.

Найти интеграл уравнения $y^{IV}-2y'''+2y''-2y'+y=\dfrac {\pi }{2}+4\cos x$, удовлетворяющий условиям $y=y'=0$ при $x=0$ и при $x=\pi$.

Найти непрерывную с непрерывной производной при $0<x<2$ функцию от $x$, удовлетворяющую при $x<1$ уравнению $y''-y=0$, а при $x>1$ уравнению $y''-4y=0$ и такую, чтобы $y=0$ и $y'=1$ при $x=0$.

Тело падает с высоты $h$ под действием силы тяжести $f_{1}=-mg$; на него действуют силы трения, пропорциональные скорости: $f_{2}=-kv$. Начальная скорость равна нулю. Найти формулу для высоты $y$ через $t$ секунд от начала движения.

Тело массы $m$ скользит по плоскости с углом наклона $\alpha$ под действием силы тяжести. Сила трения выражается формулой $f=-lp-kv$, где $p$ — нормальное давление, $v$ — скорость тела, $l$ и $k$ — постоянные. Найти зависимость пройденного пути от времени.

Тело массы $m$ подвешено на пружине и находится в равновесии. Затем пружина вытянута на длину $h$ силой $kh$ и тело отпущено. Определить дальнейшее движение тела, считая, что сила сопротивления среды пропорциональна скорости $f=-nv$.

По закону Ньютона при движении тела по оси $Ox$ $m\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}=f$, где $f$ — сила, действующая на тело. Найти движение тела, на которое действуют одновременно две силы:

1. сила упругости, пропорциональная отклонению от положения равновесия: $f_{1}=-a^{2}x$;

2. сила трения, пропорциональная скорости: $f_{2}=-k\dfrac {dx}{dt}$.

При тех же обозначениях, что и в задаче 4368, найти движение тела с массой $m$, на которое действуют две силы: $f_{1}=-a^{2}x$ и $f_{2}=b\sin nt$. Рассмотреть случаи $n\neq \dfrac {a}{\sqrt{m}}$ и $n=\dfrac {a}{\sqrt{m}}$. При $t=0$ величины $x$ и $\dfrac {dx}{dt}$ равны $0$.

Тело массы $m$ скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость $v_{0}$. На тело действует сила трения, равная $-km$. Найти расстояние, какое тело способно пройти.

На тело единичной массы действуют две силы: $f_{1}=-k^{2}x$ и $f_{2}=-fk^{2}\operatorname {sign}\left(x'\right)$, равная $fk^{2}$ и направленная обратно скорости. Начальная скорость $x'=0$, а начальное расстояние от начала $x_{0}=nf$. Найти движение тела.

Струна длиной $l$ расположена по оси $Ox$ между точками $(0,0)$ и $(l,0)$ и колеблется в плоскости $xOy$. Отклонение $y$ в точке $x$ и в момент $t$ удовлетворяет уравнению $\dfrac {\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=a^{2}\dfrac {\partial^{2}y}{\partial x^{2}}$. Найти те виды колебаний, при которых $y=u(x)\sin bt$, где $b$ характеризует частоту колебаний. Концы струны закреплены: $y=0$ при $x=0$ и $x=l$ при любом $t$.

При установившемся распределении тепла в однородном теле температура $u$ удовлетворяет уравнению Лапласа $\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial z^{2}}=0$. Внутренность цилиндрической трубки с однородными стенками наполнена жидкостью с температурой $t_{1}$, а снаружи — жидкостью с температурой $t_{2}$. Найти распределение температуры в стенках.

Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, для слоя между концентрическими шарами с радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$.

Балка расположена по оси $Ox$ от точки $(0,0)$ до точки $(l,0)$. Ее прогиб в точке $x$ равен $y$ и удовлетворяет уравнению $y^{IV}=af(x)$, где $f(x)$ — нагрузка, $a$ — коэффициент, зависящий от вещества балки и формы поперечного сечения. Найти прогиб балки при $f(x)=1$, если балка заделана на концах ($y=y'=0$ при $x=0$ и $x=l$).

Стержень между теми же точками, что и в предыдущей задаче, вращается вокруг оси $Ox$. Его отклонение $y$ от оси $Ox$, если оно возможно, удовлетворяет уравнению $y^{IV}-a^{4}y=0$, где $a$ зависит от скорости и свойств стержня. При $x=0$ и $x=l$ величины $y$ и $y''$ равны нулю. При каких $a$ отклонение возможно?

Упругая тонкая плита расположена в плоскости $xOy$ и изогнута действующими на нее распределенными усилиями интенсивности $p(x,y)$. Прогиб $w$ в точке $(x,y)$ (отклонение от плоскости $xOy$) удовлетворяет дифференциальному уравнению

(постоянная $D$ — жесткость плиты).

Определить прогиб $w(r)$ для круглой равномерно нагруженной плиты радиуса $a$, с заделанным краем. На заделанном крае $w=0$ и $\dfrac {dw}{dr}=0$, в центре плиты $w$ и $\dfrac {d^{2}w}{dr^{2}}$ конечны ($r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$).

Решить предыдущую задачу для равномерно нагруженной круглой плиты радиуса $a$, опертой по краю. На опертом краю $r=a$ граничные условия имеют вид: $w=0$ и $\dfrac {d^{2}w}{dr^{2}}+\dfrac {\nu }{r}\dfrac {dw}{dr}=0$ (постоянная $\nu$ — коэффициент Пуассона); в центре плиты условия прежние.