Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Решить уравнение $y''=x+\sin x$.

Решить уравнение $y'''\sin^{4}x=\sin 2x$.

Решить уравнение $y^{IV}=x$.

Найти общий интеграл уравнения $y^{IV}=f(x)$, где $f(x)=x$ при $0<x<1$ и $f(x)=0$ вне этого промежутка.

Найти интеграл уравнения $y^{IV}=f(x)$, где $f(x)=\left|x\right|$ при $\left|x\right|<1$ и $f(x)=0$ при $\left|x\right|>1$, такой, чтобы при $x=0$ величины $y$, $y'$, $y''$, $y'''$ обращались соответственно в $0$, $0$, $0$, $0$.

Решить уравнение $(1+x^{2})y''+y'^{2}+1=0$.

Решить уравнение $xy''=y'\ln \dfrac {y’}{x}$.

Решить уравнение $y''^{2}=y'$.

Решить уравнение $ay'''=y''$.

Решить уравнение $y'''+y''^{2}=0$.

Решить уравнение $4y'+y''^{2}=4xy''$.

Решить уравнение $y''=(1+y'^{2})^{\frac{3}{2}}$.

Решить уравнение $y'y'''-3y''^{2}=0$.

Решить уравнение $1+y'^{2}+xy'y''=ay''\sqrt{1+y'^{2}}$.

Решить уравнение $y'(1+y'^{2})=ay''$.

Решить уравнение $y'''=y''^{3}$.

Решить уравнение $y'''(1+y'^{2})-3y'y''^{2}=0$.

Решить уравнение $yy''^{2}=1$.

Решить уравнение $y''=ae^{y}$.

Решить уравнение $3y''=y^{-\frac{5}{3}}$.

Решить уравнение $2(2a-y)y''=1+y'^{2}$.

Решить уравнение $1+y'^{2}=2yy''$.

Решить уравнение $y^{4}-y^{3}y''=1$.

Решить уравнение $2y'^{2}=(y-1)y''$.

Решить уравнение $y''(1+yy')=y'(1+y'^{2})$.

Решить уравнение $yy''=y'^{2}$.

Решить уравнение $2yy''+y'^{2}+y'^{4}=0$.

Решить уравнение $2yy''-3y'^{2}=4y^{2}$.

Из общего интеграла уравнения $yy''+y'^{2}=1$ выделить интегральную кривую, проходящую через точку $(0,1)$, касаясь в ней прямой $x+y=1$.

В интеграле уравнения $yy'y''=y'^{3}+y''^{2}$ выделить интегральную кривую, проходящую через точку $(0,0)$, касаясь в ней прямой $x+y=0$.

Найти интеграл уравнения $y^{3}y''+1=0$, удовлетворяющий начальным данным $y=1$, $y'=0$ при $x=1$.

Выделить интегральную кривую уравнения $y'^{2}+2yy''=0$, касающуюся прямой $y=x$ в точке $(1,1)$.

Найти интегральную кривую уравнения $2yy''-3y'^{2}=4y^{2}$, касающуюся прямой $y=1$ в точке $(0,1)$.

Найти интеграл уравнения $yy''+n^{2}y^{2}-ky'^{2}=0$, удовлетворяющий начальным данным $y=a$, $y'=0$ при $x=0$. При этом $0<k<1$.

Решить уравнение $yy''+y'^{2}=\dfrac {yy’}{\sqrt{1+x^{2}}}$.

Решить уравнение $y''^{2}-2xy''+x^{2}=y^{2}$.

Решить уравнение $x^{4}y''+(xy'-y)^{3}=0$.

Решить уравнение $x^{3}y''=(y-xy')^{2}$.

Решить уравнение $x^{2}yy''-2x^{2}y'^{2}+xyy'+y^{2}=0$.

Решить уравнение $x^{2}yy''=(y-xy')^{2}$.

Решить уравнение $x^{2}(yy''-y'^{2})+xyy'=y\sqrt{x^{2}y'^{2}+y^{2}}$.

Решить уравнение $xyy''+xy'^{2}-yy'=0$.

Найти интеграл уравнения

введя новую функцию подстановкой $y=x^{2}u$.

Доказать, что можно привести к квадратурам уравнение $f(x^{2}y'',xy',y)=0$, где $f$ — однородная функция своих аргументов. (Бурле.)

Доказать, что можно привести к квадратурам уравнение $x^{3}y''=F\left(\frac{y}{x}\right)f(xy'-y)$.

Доказать, что можно привести к квадратурам уравнение $y''=(1+y'^{2})^{\frac{3}{2}}F\left(\frac{xy'-y}{\sqrt{1+y'^{2}}}\right)f(x^{2}+y^{2})$.

Проинтегрировать уравнение конических сечений

Найти общий интеграл уравнения $xyy''+xy'^{2}+ayy'+f(x)=0$.

Найти общий интеграл уравнения $y''+ay'^{2}+b\sin y=0$.

Найти общий интеграл уравнения $y''+f(y)y'^{2}+\varphi (x)y'=0$.

Найти общий интеграл уравнения $y''^{2}-2xy''-y'=0$.

Найти интеграл по начальным данным уравнения $y''y^{2}=-a^{2}$; $x=0$, $y=R$, $y'=0$.

Найти интеграл по начальным данным уравнения $(1+y^{2})y''+2yy'^{2}=y'$; $x=1$, $y=0$, $y'=1$.

Найти интеграл по начальным данным уравнения $(x+a)y''+xy'^{2}=y'$; $x=0$, $y=0$, $y'=1$.

Найти функцию $u=f(x^{2}+y^{2})$, удовлетворяющую уравнению Лапласа $\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0$.

Найти общий вид функций $u=f(x^{2}+y^{2}+z^{2})$, удовлетворяющих уравнению Лапласа от трех переменных $\dfrac {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial^{2}u}{\partial z^{2}}=0$.

Найти общий вид функций $u=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$, удовлетворяющих бигармоническому уравнению

Поверхности, у которых средняя кривизна равна нулю, называются минимальными. Координаты их точек удовлетворяют уравнению

где

У поверхностей вращения вокруг оси $Oz$ должно быть $z=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$. Найти минимальные поверхности вращения. (Монж.)

Найти плоские кривые, у которых радиус кривизны пропорционален нормали. Рассмотреть случаи, когда коэффициент пропорциональности $\mu$ равен числам $\pm 1$ и $\pm 2$.

Найти плоские кривые, у которых радиус кривизны пропорционален кубу нормали.

Найти кривые, у которых радиус кривизны пропорционален радиус-вектору из начала координат в точку кривой.

У каких кривых, кроме окружностей, радиус кривизны равен радиус-вектору из начала координат?

Определить форму равновесия нерастяжимой нити, на которую действует нагрузка так, что на каждую единицу горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепных мостов).

Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити под действием ее веса. (Цепная линия.)

Найти кривые, у которых радиус кривизны есть данная функция $f(\alpha )=a$ угла $\alpha$, образуемого касательной с осью $Ox$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны есть данная функция $f(\alpha )$ угла $\alpha$, где $f(\alpha )\sin^{3}\alpha =a$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны есть данная функция $f(\alpha )$ угла $\alpha$, где $f(\alpha )\cos^{2}\alpha =a$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны есть данная функция $f(\alpha )=ae^{m\alpha }$ угла $\alpha$, образуемого касательной с осью $Ox$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны есть данная функция $f(\alpha )=a\alpha$ угла $\alpha$, образуемого касательной с осью $Ox$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны есть данная функция $f(\alpha )=a\sin \alpha$ угла $\alpha$, образуемого касательной с осью $Ox$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны есть данная функция $f(\alpha )=a\sin m\alpha$ угла $\alpha$, образуемого касательной с осью $Ox$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны есть данная функция $f(\alpha )$ угла $\alpha$, где $f(\alpha )(1-e^{2}\cos^{2}\alpha )^{\frac{3}{2}}=p$; $0<e<1$.

Найти кривые, у которых длина дуги $s$ есть данная функция угла $\alpha$, образуемого касательной в конце дуги с осью $Ox$: $s=a\alpha$.

Найти кривые, у которых длина дуги $s$ есть данная функция угла $\alpha$, где $s=a\tg \alpha$.

Найти кривые, у которых длина дуги $s$ есть данная функция угла $\alpha$, где $s=ae^{m\alpha }$.

Найти кривые, у которых длина дуги $s$ есть данная функция угла $\alpha$, где $2s=a\alpha^{2}$.

Найти кривые, у которых длина дуги $s$ есть данная функция угла $\alpha$, где $s=a\cos \alpha$.

Найти кривые, у которых длина дуги $s$ есть данная функция угла $\alpha$, где $s=a\cos m\alpha$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны $R$ есть данная функция длины дуги $s$: $s^{2}=a(R-a)$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны $R$ есть данная функция длины дуги $s$: $R=ms$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны $R$ есть данная функция длины дуги $s$: $R^{2}+s^{2}=a^{2}$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны $R$ есть данная функция длины дуги $s$: $R^{2}=2as$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны самой кривой $R$ и ее эволюты $R_{1}$ связаны соотношением $R^{2}+R_{1}^{2}=a^{2}$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны самой кривой $R$ и ее эволюты $R_{1}$ связаны соотношением $R_{1}^{2}=2aR$.

Найти кривые, у которых радиус кривизны самой кривой $R$ и ее эволюты $R_{1}$ связаны соотношением $\dfrac {R^{2}}{a^{2}}+\dfrac {R_{1}^{2}}{b^{2}}=1$.

Найти кривую, дуга которой, считаемая от некоторой начальной точки, равна расстоянию касательной в конце дуги от начала координат.