Линейные уравнения. Разные задачи

Решить уравнение $xy''+2y'+xy=0$, зная частное решение $xy_{1}=\sin x$.

Решить уравнение $(2x-x^{2})y''+(x^{2}-2)y'+2(1-x)y=0$, зная частное решение $y_{1}=x^{2}$.

Решить уравнение $x^{2}(\ln x-1)y''-xy'+y=0$, зная частное решение $y_{1}=x$.

Решить уравнение $xy''-(1+x)y'+y=0$, зная частное решение $y_{1}=1+x$.

Решить уравнение $y''+(\tg x-2\ctg x)y'+2\ctg^{2}x\cdot y=0$, зная частное решение $y_{1}=\sin x$.

Решить уравнение $y''\sin^{3}x=4y\sin 3x$, зная частное решение $y_{1}=\sin^{4}x$.

Решить уравнение $x(1-x)^{2}y''=2y$, зная частный интеграл $(1-x)y_{1}=x$.

Решить уравнение $(1+x^{2})y''+xy'-n^{2}y=0$, зная частное решение $y_{1}=\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)^{n}$.

Решить уравнение $(2x+1)y''+(4x-2)y'-8y=0$, зная частное решение $y_{1}=e^{mx}$ при соответствующем выборе $m$.

Решить уравнение $x(x-1)y''-(2x-1)y'+2y=2x^{3}-3x^{2}$, зная частный интеграл соответствующего однородного уравнения $z_{1}=x^{2}$.

Если линейное уравнение с рациональными коэффициентами имеет частным решением полином, то он легко может быть найден. Так, если уравнение $(1-x^{2})y''-xy'+9y=0$ имеет решение в виде полинома $y=Ax^{n}+Bx^{n-1}+\ldots +M$, то после подстановки полинома в левую часть этого уравнения коэффициенты при степенях $x$ после приведения подобных членов должны равняться нулю. Для коэффициента при высшей степени $x$ получаем равенство: $-An(n-1)-An+9A=0$ или $A(n^{2}-9)=0$. Так как $A\neq 0$ и $n\neq -3$, то $n=3$. Поэтому если $y$ в данном уравнении может быть полиномом, то только полиномом третьей степени. Полагая $y=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$ и подставляя в данное уравнение, приравниваем нулю коэффициенты при степенях $x$. Отсюда получаются уравнения: $B=0$, $4C=-3A$, $D=0$. Поэтому $y=A_{1}(4x^{3}-3x)$ есть решение данного уравнения.

Проинтегрировать уравнение $xy''-(x+5)y'+3y=0$, имеющее частное решение, равное полиному.

Проинтегрировать уравнение $(x^{2}-1)y''=6y$, имеющее частное решение, равное полиному.

Проинтегрировать уравнение $y''-2xy'+4y=0$, имеющее частное решение, равное полиному.

Проинтегрировать уравнение $xy''-(x+2)y'+y=0$, имеющее частное решение, равное полиному.

Показать, что уравнение Лежандра $\left((x^{2}-1)y'\right)'-n(n+1)y=0$, где $n$ — целое и положительное число, имеет частные решения в виде: $y_{1}=P(x)$ и $y_{2}=P(x)\ln \dfrac {x+1}{x-1}+Q(x)$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — полиномы.

При каком значении $\mu$ уравнение

имеет частное решение в виде полинома третьей степени? Найти его.

Показать, что уравнение $xy''-(x+p+q)y'+py=0$, где $p$ и $q$ — положительные и целые числа, имеет одно частное решение в виде полинома, а другое — в виде $e^{x}P(x)$, где $P(x)$ — тоже полином.

Проинтегрировать уравнение $(x^{2}-x)y''+(2x-3)y'-2y=0$, зная, что его общий интеграл — рациональная функция (для уравнения вида $a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0$ с полиномиальными коэффициентами знаменатель такого интеграла может состоять лишь из линейных множителей, являющихся делителями полинома $a(x)$).

Проинтегрировать уравнение $(x^{2}-x)y''+(x+1)y'-y=0$, зная, что его общий интеграл — рациональная функция (см. замечание к задаче 4396).

Проинтегрировать уравнение $(x^{2}-x)y''+(4x-2)y'+2y=0$, зная, что его общий интеграл — рациональная функция (см. замечание к задаче 4396).

Проинтегрировать уравнение $x^{2}(2x+1)(x+1)y''-2x(x^{2}+3x+1)y'+(6x+2)y=0$, зная, что его общий интеграл — рациональная функция (см. замечание к задаче 4396).

Проинтегрировать уравнение $(1+x^{2})y''+6xy'+6y=0$, зная, что его общий интеграл — рациональная функция (см. замечание к задаче 4396).

Проинтегрировать уравнение $2xy''+y'-2y=0$, введя новую независимую переменную $x=\varphi (t)$, выбранную так, чтобы в преобразованном уравнении обратился в нуль коэффициент при $\dfrac {dy}{dt}$.

Проинтегрировать уравнение $x^{4}y''+2x^{3}y'+n^{2}y=0$, введя новую независимую переменную $x=\varphi (t)$, выбранную так, чтобы в преобразованном уравнении обратился в нуль коэффициент при $\dfrac {dy}{dt}$.

Проинтегрировать уравнение $(1+x^{2})^{2}y''+2x(1+x^{2})y'+y=0$, введя новую независимую переменную $x=\varphi (t)$, выбранную так, чтобы в преобразованном уравнении обратился в нуль коэффициент при $\dfrac {dy}{dt}$.

Проинтегрировать уравнение $(1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0$, введя новую независимую переменную $x=\varphi (t)$, выбранную так, чтобы в преобразованном уравнении обратился в нуль коэффициент при $\dfrac {dy}{dt}$.

Проинтегрировать уравнение $y''\ch^{2}2x+y'\sh 4x+\dfrac {m^{2}}{4}y=0$, введя новую независимую переменную $x=\varphi (t)$, выбранную так, чтобы в преобразованном уравнении обратился в нуль коэффициент при $\dfrac {dy}{dt}$.

Проинтегрировать уравнение $y''\sin x\cos x-y'+m^{2}y\tg x\sin^{2}x=0$, введя новую независимую переменную $x=\varphi (t)$, выбранную так, чтобы в преобразованном уравнении обратился в нуль коэффициент при $\dfrac {dy}{dt}$.

Проинтегрировать уравнение $x^{4}y''+2x^{3}y'-4y=\dfrac {1}{x}$, положив $x=\dfrac {1}{t}$.

Проинтегрировать уравнение $xy''+2y'-xy=e^{x}$, положив $y=\dfrac {u}{x}$.

Проинтегрировать уравнение $y''+\dfrac {2}{x}y'-a^{2}y=2$, положив $y=\dfrac {u}{x}$.

Проинтегрировать уравнение $x^{4}y''+c^{2}y=0$, положив $y=xu$, $x=\dfrac {1}{t}$.

Проинтегрировать уравнение $x^{4}y''-c^{2}y=0$, положив $y=\dfrac {u}{t}$, $x=\dfrac {1}{t}$.

Проинтегрировать уравнение $\sin^{2}xy''+\sin x\cos xy'-y=0$, подобрав интегрирующий множитель.

Решить уравнение

подстановкой $x^{2}y''-2xy'+2y=u$. Здесь $P$ и $Q$ — данные функции от $x$.

Проинтегрировать уравнение $xy''-4y'-xy=0$, применив к нему четыре раза дифференцирование и используя полученные равенства.

Найти общий интеграл уравнения Стокса

где $\beta$ — постоянная, отыскав частное решение вида $y=x^{m}(1-x)^{n}$.

Найти решение уравнения Стокса

такое, что $y=y'=0$ при $x=0$.