Уравнения с разделяющимися переменными

Проинтегрировать уравнение $(1+y^{2})\, dx+xy\, dy=0$.

Проинтегрировать уравнение $xy(1+x^{2})y'=1+y^{2}$.

Проинтегрировать уравнение $(1+y^{2})\, dx=x\, dy$.

Найдя общий интеграл уравнения $\dfrac {x\, dx}{1+y}=\dfrac {y\, dy}{1+x}$, выделить кривую, проходящую через точку:

Найдя общий интеграл уравнения $y'\sin x=y\ln y$, выделить кривые, проходящие через точки $M(0,1)$ и $M\left(\frac{\pi }{2},1\right)$.

Найдя общий интеграл уравнения $(1+e^{x})yy'=e^{x}$, выделить кривую, проходящую через точку $M(1,1)$.

Найдя общий интеграл уравнения $x\sqrt{1-y^{2}}\, dx+y\sqrt{1-x^{2}}\, dy=0$, выделить кривую, проходящую через точку $M(0,1)$.

Найдя общий интеграл уравнения $2\sqrt{y}\, dx=dy$, выделить кривую, проходящую через точку $M(0,1)$.

Найдя общий интеграл уравнения $y\ln y\, dx+x\, dy=0$, выделить кривую, проходящую через точку $M(1,1)$.

Найдя общий интеграл уравнения $(a^{2}+y^{2})\, dx+2x\sqrt{ax-x^{2}}\, dy=0$, выделить кривую, проходящую через точку $M(a,0)$.

Найти общий интеграл уравнения $y'+x^{2}y=x^{2}$; выделить из него решение, удовлетворяющее условию:

Проинтегрировать уравнение $(1-x^{2})y'-xy=axy^{2}$.

Проинтегрировать уравнение $dy+(xy-xy^{3})\, dx=0$.

Проинтегрировать уравнение $y=xy'^{2}+y'^{2}$.

Проинтегрировать уравнение $xyy'^{2}+(x^{2}+y^{2})y'+xy=0$.

Проинтегрировать уравнение $x(1+y'^{2})=1$.

Проинтегрировать уравнение $x(1+y'^{2})^{\frac{3}{2}}=a$.

Проинтегрировать уравнение $x=\dfrac {ay’}{\sqrt{1+y'^{2}}}$.

Проинтегрировать уравнение $y\sqrt{1+y'^{2}}=y'$.

Найти кривую, у которой средняя ордината, т. е. величина $\dfrac {1}{x}\int_{0}^{x}y\, dx$, пропорциональна последней ординате.

Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести площади, заключенной между прямыми $x=0$, $y=0$, $x=\xi$ и самой кривой, равна $\frac{3}{4}\xi$.

Проинтегрировать уравнение $y'=(x-y)^{2}+1$.

Проинтегрировать уравнение $y'=\sin (x-y)$.

Проинтегрировать уравнение $y'=ax+by+c$.

Проинтегрировать уравнение $y'^{2}=ax+by+c$.

Проинтегрировать уравнение $y'=(ax+by+c)^{2}$.

Проинтегрировать уравнение $(x+y)^{2}y'=a^{2}$.

Найти общий интеграл уравнения

применив подстановку

Найти кривые, у которых длина подкасательной — постоянная, равная $a$. (Лейбниц, 1684.)

Найти кривые, у которых поднормаль повсюду равна $p$.

Найти кривые, у которых отрезок касательной, заключенный между осями, делится пополам точкой касания.

Найти кривые, у которых такой же отрезок (отрезок касательной, заключенный между осями) делится точкой касания в отношении $m:n$.

Пользуясь полярными координатами, найти кривые, пересекающие все радиус-векторы под углом $\alpha$, где $\tg \alpha =a$.

Найти кривые, у которых угол $\varphi$ от полярной оси до радиус-вектора в точку касания равен углу $\mu$ от продолжения радиус-вектора до касательной.

Такой же вопрос, что и в предыдущей задаче (угол $\varphi$ от полярной оси до радиус-вектора в точку касания равен углу $\mu$ от продолжения радиус-вектора до касательной), но $\mu =2\varphi$.

На поверхности $z^{2}=2ay$ найти линии, касательные к которым составляют с $Oz$ данный угол $\gamma$.

Тот же вопрос (найти линии, касательные к которым составляют с $Oz$ данный угол $\gamma$) для поверхности $x^{2}+y^{2}=2az$.

Найти кривые, пересекающие все параллели поверхности вращения $x^{2}+y^{2}=a^{2}\ch^{2}\frac{z}{a}$ под углом $45°$.

Тот же вопрос (найти кривые, пересекающие все параллели поверхности вращения под углом $45°$) для конуса $x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Найти кривые, пересекающие все образующие цилиндра $y=\varphi (x)$ под углом $\alpha$.

Найти локсодромию, т. е. кривую, пересекающую под углом $\alpha$ все меридианы сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$. (Здесь лучше всего для точек поверхности шара ввести сферические координаты.)

Какой угол с меридианами составляет локсодромия, идущая от Измаила на Дунае до мыса Дежнева? Их широты $45°20'$ и $66°$, а долготы $28°45'$ и $170°$ (восточная).

Найти кривую, у которой площадь криволинейной трапеции между точками оси $Ox$: $(a,0)$ и $(x,0)$ и точками кривой $A(a,m)$ и $B(x,y)$ была бы равна произведению дуги $AB$ на $m$.

Сосуд содержит $M$ см$^{3}$ раствора. В него каждую секунду непрерывно поступает $q$ см$^{3}$ воды, которая тут же размешивается. Из сосуда вытекает в секунду $q$ см$^{3}$ раствора. Доказать, что количество растворенного вещества $m$ выражается формулой $m=m_{0}e^{-\frac{q}{M}t}$, где $m_{0}$ — начальное количество вещества, а $t$ — время в секундах от начала процесса.

Канат намотан на столб радиуса $r$. Сила, прижимающая его элемент $\Delta s$ к столбу, эквивалентна величине $\frac{T}{r}\Delta s$, где $T$ — натяжение каната в данной точке. Благодаря трению элемент может скользить лишь в том случае, если движущая его сила больше, чем $kf$, где $k$ — коэффициент трения, а $f$ — сила, прижимающая элемент к столбу. Получить отсюда дифференциальное уравнение $dT=-\frac{kT}{r}\, ds$ и его общий интеграл $T=T_{0}e^{-\frac{ks}{r}}$, где $T$ — натяжение, при котором начинается скольжение, $T_{0}$ — натяжение в начальной точке.

Свет с яркостью $f_{0}$ падает на поглощающую свет среду. Считая, что поглощение слоем $\Delta x$ приближенно пропорционально $\Delta x$ и яркости $f$, доказать, что на глубине $x$ яркость выражается равенством $f=f_{0}e^{-kx}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Лучи от источника света поглощаются окружающей средой. Считая, что поглощение света между шарами с радиусами $r$ и $r+\Delta r$ и с центром в источнике света, с точностью до малых высшего порядка, равно $kf\cdot 4\pi r^{2}\Delta r$, доказать, что яркость на расстоянии $r$ от источника света равна $f_{0}\dfrac {e^{-kr}}{r^{2}}$, где $f_{0}e^{-k}$ — яркость света при $r=1$, а $k$ — коэффициент пропорциональности.

Найти кривую, которая повсюду была бы одинаково освещена (с данной освещенностью $a$) точечным источником света силы $A$. Известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния и пропорциональна синусу угла между лучом и освещаемой поверхностью.

В цилиндрический сосуд с площадью основания $S$ см$^{2}$ и высотой $H$ см равномерно вливается вода ($V$ см$^{3}$/сек) и одновременно частью выливается через отверстие в дне площадью $\sigma$ см$^{2}$. Через какое время сосуд наполнится до верху и каково условие того, чтобы он когда-нибудь наполнился? Скорость истечения определяется законом Торичелли (см. задачу 3302).

Тяжелая материальная точка массы $m$ начинает падать в сопротивляющейся среде, причем сила сопротивления зависит от скорости по закону $f=kv^{n}$. Определить закон изменения скорости во времени и путь, пройденный за время $t$ при $n=1$; $2$.

Газ с первоначальной плотностью $\rho_{0}$ и давлением $p_{0}$ находится в сосуде, вращающемся около своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Найти закон распределения давления в установившемся движении, когда все частицы газа будут вращаться с угловой скоростью $\omega$. Газ подчиняется закону Бойля-Мариотта, весом газа пренебречь.