Системы дифференциальных уравнений

Решить систему $\dfrac {dx}{x}=\dfrac {dy}{y}=\dfrac {dz}{z}$.

Решить систему $\dfrac {dx}{x}=\dfrac {dy}{y}=\dfrac {dz}{x+y}$.

Решить систему $\dfrac {dx}{y}=-\dfrac {dy}{x}=\dfrac {dp}{q}=-\dfrac {dq}{p}$.

Решить систему $\dfrac {dx}{x-y}=\dfrac {dy}{x+y}=\dfrac {dz}{z}$.

Решить систему $(z-y)^{2}\, dy=z\, dx$, $(z-y)^{2}\, dz=y\, dx$.

Решить систему $dx=(x^{3}+3xy^{2})\, dt$, $dy=2y^{3}\, dt$, $dz=2y^{2}z\, dt$.

Решить систему $z\, dy=(z-1)\, dx$, $dx=(y-x)\, dz$.

Решить систему $\dfrac {dx}{z-y}=\dfrac {dy}{x-z}=\dfrac {dz}{y-x}$.

Решить систему $\dfrac {dx}{x}=\dfrac {dy}{y}=\dfrac {dz}{z-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Решить систему $\dfrac {dx}{dt}=\dfrac {x-y}{z-t}$, $\dfrac {dy}{dt}=\dfrac {x-y}{z-t}$, $\dfrac {dz}{dt}=x-y+1$.

Решить систему $\dfrac {dx}{x^{2}-y^{2}-z^{2}}=\dfrac {dy}{2xy}=\dfrac {dz}{2xz}$.

Решить систему $\dfrac {dx}{y(x+y)}=\dfrac {-dy}{x(x+y)}=\dfrac {dz}{(x-y)(2x+2y+z)}$.

Решить систему $\dfrac {dx}{x^{2}-yz}=\dfrac {dy}{y^{2}-yz}=\dfrac {dz}{z(x+y)}$; $z=-1$, $y=1$ при $x=0$.

Решить систему $x\, dy-y\, dx=s\, ds$, $dx^{2}+dy^{2}=ds^{2}$, используя замечание: если $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, то можно положить $a=c\cos \varphi$, $b=c\sin \varphi$.

Решить систему $dx^{2}+dy^{2}=a^{2}\, dt^{2}$, $(d^{2}x)^{2}+(d^{2}y)^{2}=b^{2}\, dt^{4}$, используя замечание: если $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, то можно положить $a=c\cos \varphi$, $b=c\sin \varphi$.

Решить систему $\dfrac {dy}{dx}+3y+z=0$, $\dfrac {dz}{dx}-y+z=0$; $y=z=1$ при $x=0$.

Решить систему $\dfrac {dx}{dt}+7x-y=0$, $\dfrac {dy}{dt}+2x+5y=0$; $x=y=1$ при $t=0$.

Решить систему $\dfrac {dx}{dt}=z+y-x$, $\dfrac {dy}{dt}=z+x-y$, $\dfrac {dz}{dt}=x+y+z$; $x=1$, $y=z=0$ при $t=0$.

Решить систему $\dfrac {dx}{dt}=y+z$, $\dfrac {dy}{dt}=z+x$, $\dfrac {dz}{dt}=x+y$; $x=-1$, $y=1$, $z=0$ при $t=0$.

Решить систему $\dfrac {dy}{dx}+\dfrac {dz}{dx}=2z$, $3\dfrac {dy}{dx}+\dfrac {dz}{dx}=y+9z$.

Решить систему $\dfrac {dx}{dt}=z-y$, $\dfrac {dy}{dt}=z$, $\dfrac {dz}{dt}=z-x$.

Решить систему $\dfrac {dx}{y}=\dfrac {dy}{z}=\dfrac {dz}{x}$.

Решить систему $\dfrac {dx}{dt}=y-z$, $\dfrac {dy}{dt}=z-2x$, $\dfrac {dz}{dt}=2x-y$.

Решить систему $\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}+2m^{2}y=0$, $\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}-2m^{2}x=0$.

Решить систему $\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}=3(y-x-z)$, $\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}=x-y$, $\dfrac {d^{2}z}{dt^{2}}=-z$.

Решить систему $\dfrac {dx}{dt}=-x+y+z$, $\dfrac {dy}{dt}=x-y+z$, $\dfrac {dz}{dt}=x+y-z$.

Решить систему $\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}=-x+y+z$, $\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}=x-y+z$, $\dfrac {d^{2}z}{dt^{2}}=x+y-z$.

Решить систему $\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}=3y+4z-3$, $\dfrac {d^{2}z}{dx^{2}}+y+z-5=0$.

Решить систему $\dfrac {dx}{dt}=y$, $\dfrac {dy}{dt}=x+e^{t}+e^{-t}$.

Решить систему $x'+5x-2y=e^{t}$, $y'-x+6y=e^{2t}$.

Решить систему $y'=3z-y$, $z'=z+y+e^{ax}$.

Решить систему $x'=2x+4y+\cos t$, $y'+x+2y=\sin t$.

Решить систему $y''+y'+z''-z=e^{x}$, $y'+2y-z'+z=e^{-x}$.

Решить систему $y'-y+z=3x^{2}$, $z'+4y+2z=2+8x$.

Решить систему $x^{2}y''+xz'+y+z=x+1$, $x^{2}z''+xy'-y-z=-x-1$.

Решить систему $x'+n^{2}y=\cos nt$, $y'+n^{2}x=\sin nt$.

Решить систему $x^{2}y'+z=x^{2}$, $z'+y=x$.

Решить систему $y'+z=1$, $x^{2}z'+2y=x^{2}\ln x$.

Решить систему $tx''+2x'+tx=0$, $ty'+2y-tx'=0$.

Решить систему $tx'=t-2x$, $ty'=t(x+y)+2x-t$.

Решить систему Лиувилля:

введя переменные $u=x\cos t+y\sin t$, $v=x\sin t-y\cos t$.

Доказать, что интегрирование системы Гессе:

где $X$, $Y$, $Z$ и $T$ — линейные формы от переменных $x$, $y$ и $z$, подстановками

сводится к интегрированию системы линейных однородных уравнений.

Проинтегрировать с помощью приема Гессе систему $\dfrac {dx}{dt}=y+xz$, $\dfrac {dy}{dt}=x+yz$, $\dfrac {dz}{dt}=x+z^{2}$.

Проинтегрировать с помощью приема Гессе систему $\dfrac {dx}{dt}=x+x(x+y)$, $\dfrac {dy}{dt}=z+y(x+y)$, $\dfrac {dz}{dt}=y+z(x+y)$.

Решить символическим методом систему уравнений

Решить символическим методом систему уравнений

Решить символическим методом систему уравнений

Решить символическим методом систему уравнений

Найти траекторию движущейся точки массы $m$, если сила, действующая на нее, направлена по перпендикуляру к оси $Oz$ и пропорциональна расстоянию от точки до этой оси, зная, что уравнения движения материальной точки массы $m$ под действием силы с проекциями $X$, $Y$, $Z$ на оси имеют вид $m\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}=X$, $m\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}=Y$, $m\dfrac {d^{2}z}{dt^{2}}=Z$, где $x$, $y$, $z$ — координаты движущейся точки.

Доказать, что если проекции силы, действующей на материальную точку массы $m$ (уравнения движения $m\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}=X$, $m\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}=Y$, $m\dfrac {d^{2}z}{dt^{2}}=Z$), равны производным от некоторой функции $u$ по соответствующим координатам: $X=\dfrac {\partial u}{\partial x}$, $Y=\dfrac {\partial u}{\partial y}$, $Z=\dfrac {\partial u}{\partial z}$, то справедливо равенство $\dfrac {mv^{2}}{2}=u+C$, где $v$ — скорость точки, равная $\sqrt{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}$.

Доказать, что если линия действия силы, приложенной к материальной точке массы $m$ (уравнения движения $m\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}=X$, $m\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}=Y$, $m\dfrac {d^{2}z}{dt^{2}}=Z$), проходит через ось $Oz$, то проекция радиус-вектора на $xOy$ в равные времена описывает равные площади.

Определить движение тела, падающего с высоты $h$ в среде, сопротивление которой пропорционально $v^{n}$, где $v$ — скорость тела. Начальная скорость $v_{0}$ наклонена к горизонту под углом $\alpha_{0}$.

Если $V$ — потенциал электрического поля, а $\overrightarrow {H}$ — напряженность магнитного поля, то уравнение движения наэлектризованной частицы в векторной форме таково:

Найти движение частицы, считая $\operatorname {grad}V$ и $\overrightarrow {H}$ постоянными.

Та же задача, что и предыдущая (найти движение наэлектризованной частицы в векторной форме $m\dfrac {d^{2}\overrightarrow {r}}{dt^{2}}=e\operatorname {grad}V+e\overrightarrow {H}\times \dfrac {d\overrightarrow {r}}{dt}$, см. задачу 4469), но