Задачи на траектории

Найти ортогональные траектории семейства парабол $y=ax^{2}$.

Найти ортогональные траектории семейства кривых $y=ax^{\sigma }$ при данном $\sigma$.

Найти ортогональные траектории семейства эллипсов $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=\lambda$ при данных $a$ и $b$.

Найти ортогональные траектории семейства эллипсов $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ при данном $a$.

Найти ортогональные траектории семейства кривых $x^{\sigma }+y^{\sigma }=a^{\sigma }$.

Найти ортогональные траектории семейства софокусных эллипсов $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1$ при данном $c$.

Найти ортогональные траектории семейства кругов $(x-\lambda )^{2}+y^{2}=a^{2}$ при данном $a$.

Найти ортогональные траектории семейства парабол $(y-h)^{2}=2px$, скользящих без вращения вершиной по оси $Oy$.

Найти ортогональные траектории семейства парабол $(y-\eta )^{2}=2p(x-\xi )$, где $\eta^{2}+2p\xi =0$, передвигающихся без вращения, проходя через начало координат.

Найти ортогональные траектории семейства циссоид $(2a-x)y^{2}=x^{3}$.

Найти ортогональные траектории семейства лемнискат $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$.

Найти ортогональные траектории семейства строфоид $x(x^{2}+y^{2})=a(x^{2}-y^{2})$.

Найти ортогональные траектории семейства парабол, у которых $Ox$ — ось симметрии, $Oy$ — директриса.

Найти ортогональные траектории семейства кругов, касающихся двух прямых $y=\pm ax$ при данном $a$.

Найти ортогональные траектории семейства кардиоид $r=a(1+\cos \varphi )$.

Найти ортогональные траектории семейства кривых $r^{2}(\pi -\varphi )=a^{2}\varphi$.

Найти ортогональные траектории семейства кривых $r^{2}=\ln \tg \varphi +C$.

Найти ортогональные траектории семейства кривых $r^{2n}-2a^{n}r^{n}\cos n\varphi +a^{2n}=c^{2n}$ при данных $a$ и $n$.

Найти эвольвенту параболы, т. е. ортогональную траекторию касательных к ней.

Найти эвольвенту цепной линии $y=a\ch \dfrac {x}{a}$.

Найти эвольвенту эвольвенты круга

Найти кривые, пересекающие кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$ при любых $a$ под углом $\alpha$.

То же (найти кривые, пересекающие семейство при любых $a$ под углом $\alpha$) для кривых $r^{2}\cos 2\varphi =a^{2}$.

То же (найти кривые, пересекающие семейство при любых $a$ под углом $\alpha$) для окружностей $r=a\cos \varphi$.

Найти семейство кривых $r=af(\varphi )$ таких, чтобы каждая из кривых при повороте ее на любой угол $\beta$ пересекала все остальные кривые семейства под углом $\alpha$, где $\alpha$ — некоторая функция от $\beta$.

Найти кривые, пересекающие под углом $45°$ касательные к кругу $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.

Найти кривые, пересекающие все образующие конуса $\dfrac {y}{z}=\varphi \left(\frac{x}{z}\right)$ под постоянным углом $\alpha$.

Найти линию, пересекающую под углом $\alpha$ меридианы параболоида вращения.

Тот же вопрос (найти линию, пересекающую под углом $\alpha$ меридианы) для тора

Найти поверхность вращения около $Oz$, такую, чтобы проекции на плоскость $xOy$ линий на поверхности, пересекающих меридианы под углом $\alpha$, имели вид парабол с фокусом в начале координат.

Найти линии наибольшего ската поверхности эллипсоида

Найти линии наибольшего ската наклонного кругового цилиндра $x^{2}+(y-z\tg \alpha )^{2}=a^{2}$.

Найти линии наибольшего ската прямого кругового цилиндра, отклоненного от вертикали на угол $\alpha$: $x^{2}+(y\cos \alpha -z\sin \alpha )^{2}=a^{2}$.

Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче (найти линии наибольшего ската), для наклонного параболического цилиндра $y^{2}=2p(x-z\tg \alpha )$.