Уравнения линейные и приводящиеся к ним

Найти общий интеграл уравнения $xy'+2y=3x$; найти частный интеграл, который обращается в $y_{0}=0$ при $x_{0}=0$.

Найти общий интеграл уравнения $xy'+3y=x^{2}$.

Найти общий интеграл уравнения $y'+ay=e^{mx}$.

Найти общий интеграл уравнения $(1+x^{2})y'-2xy=(1+x^{2})^{2}$.

Найти общий интеграл уравнения $y'+2xy=2xe^{-x^{2}}$.

Найти общий интеграл уравнения $y'\sin x-y=1-\cos x$.

Найти общий интеграл уравнения $y'+y\cos x=\sin x\cos x$; найти частный интеграл, который обращается в $y_{0}=1$ при $x_{0}=0$.

Найти общий интеграл уравнения $(1-x^{2})y'+xy=1$; найти частный интеграл, для которого $y=1$ при $x=0$.

Решить уравнение $(y^{2}-6x)y'+2y=0$, приняв $y$ за независимую переменную, а $x$ — за функцию (уравнение оказывается линейным относительно $x$).

Решить уравнение $(x-2xy-y^{2})y'+y^{2}=0$, приняв $y$ за независимую переменную, а $x$ — за функцию (уравнение оказывается линейным относительно $x$).

Найти общий интеграл уравнения $xy'+y=y^{2}\ln x$.

Найти общий интеграл уравнения $y'+2xy=2x^{3}y^{3}$.

Найти общий интеграл уравнения $3y^{2}y'-ay^{3}=x+1$.

Найти общий интеграл уравнения $y^{n-1}(ay'+y)=x$.

Найти общий интеграл уравнения $dx+(x+y^{2})\, dy=0$.

Найти общий интеграл уравнения $(xy+x^{2}y^{3})y'=1$.

Решить уравнение $(x^{2}+y^{2}+1)\, dy+xy\, dx=0$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить уравнение $(x^{2}+y^{2}+2x-2y)\, dx+2(y-1)\, dy=0$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить уравнение $y'-1=e^{x+2y}$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить уравнение $xy'+1=e^{y}$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить уравнение $y'\cos y+\sin y=x+1$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить уравнение $y'+\sin y+x\cos y+x=0$ (сводится к линейному простой заменой переменных).

Решить функциональное уравнение $\int_{0}^{1}\varphi (\alpha x)\, d\alpha =n\varphi (x)$.

Найти $y$ из уравнения $\int_{a}^{x}xy\, dx=x^{2}+y$.

Найти $y$ из уравнения $x\int_{0}^{x}y\, dx=(x+1)\int_{0}^{x}xy\, dx$.

Найти $y$ из уравнения $\int_{0}^{x}\sqrt{1+y'^{2}}\, dx=2\sqrt{x}+y$.

Решить уравнение $2\int_{0}^{x}y\sqrt{1+y'^{2}}\, dx=2x+y^{2}$.

Доказать, что дифференциальное уравнение

где $f_{1}(x,y)$, $f_{2}(x,y)$, $\varphi (x,y)$ — однородные функции, причем $f_{1}$ и $f_{2}$ — одного и того же измерения, сводится к уравнению Бернулли после введения новой переменной $z=\dfrac {y}{x}$.

Решить уравнение $(x+3y)\, dx+2y\, dy+a(x+y)(x\, dy-y\, dx)=0$.

Решить уравнение $y^{2}(x+a)\, dx+x(x^{2}-ay)\, dy=0$.

Решить уравнение $(x^{3}-xy^{2})\, dx+2x^{2}y\, dy-(x\, dy-y\, dx)=0$.

Если $R$ — сопротивление, $L$ — коэффициент самоиндукции, а $V$ — напряжение, то сила тока в цепи $I$ удовлетворяет уравнению $L\dfrac {dI}{dt}+RI=V$. Найти силу тока через $t$ секунд после включения, если $V$ постоянно, а при $t=0$ сила тока была $I_{0}$.

Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче (найти силу тока через $t$ секунд после включения), при $V=V_{0}\sin 2\pi nt$.

Найти кривую, у которой площадь трапеции, образованной осями координат, касательной и ординатой в точке касания, равна $a^{2}$. Выделить кривую, проходящую через точку $(a,a)$.