Линейные уравнения в частных производных первого порядка

Найти общий интеграл уравнения $\cos y\dfrac {\partial z}{\partial x}+\cos x\dfrac {\partial z}{\partial y}=\cos x\cos y$.

Найти общий интеграл уравнения $xy\dfrac {\partial z}{\partial x}-y^{2}\dfrac {\partial z}{\partial y}+x(1+x^{2})=0$.

Найти общий интеграл уравнения $xz\dfrac {\partial z}{\partial x}+yz\dfrac {\partial z}{\partial y}=x$.

Найти общий интеграл уравнения $x^{2}\dfrac {\partial z}{\partial x}-xy\dfrac {\partial z}{\partial y}+y^{2}=0$.

Найти общий интеграл уравнения $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+\left(y-\sqrt{R^{2}-z^{2}}\right)\dfrac {\partial z}{\partial y}=0$.

Найти общий интеграл уравнения $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y}=xy+z$.

Найти общий интеграл уравнения $y^{3}\dfrac {\partial z}{\partial y}-xy^{2}\dfrac {\partial z}{\partial x}=axz$.

Найти общий интеграл уравнения $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y}=2xy\sqrt{a^{2}-z^{2}}$.

Найти общий интеграл уравнения $y^{2}\dfrac {\partial z}{\partial x}+xy\dfrac {\partial z}{\partial y}=xz$.

Найти общий интеграл уравнения $(x^{2}+y^{2})\dfrac {\partial z}{\partial x}=y^{2}+z^{2}$.

Найти общий интеграл уравнения $xz^{4}\dfrac {\partial z}{\partial x}+yz^{4}\dfrac {\partial z}{\partial y}=x^{2}y^{2}$.

Найти общий интеграл уравнения $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y}=z+a\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Найти общий интеграл уравнения $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y}=z-x^{2}-y^{2}$.

Найти общий интеграл уравнения $(y^{2}+z^{2}-x^{2})\dfrac {\partial z}{\partial x}-2xy\dfrac {\partial z}{\partial y}+2xz=0$.

Найти общий интеграл уравнения $(xy^{3}-2x^{4})\dfrac {\partial z}{\partial x}+(2y^{4}-x^{3}y)\dfrac {\partial z}{\partial y}=9z(y^{3}-x^{3})$.

Найти общий интеграл уравнения $(x^{3}+3xy^{2})\dfrac {\partial z}{\partial x}+2y^{3}\dfrac {\partial z}{\partial y}-2y^{2}z=0$.

Найти общий интеграл уравнения $(x^{2}-y^{2})\dfrac {\partial z}{\partial x}+xy\dfrac {\partial z}{\partial y}+xyz=0$.

Найти общий интеграл уравнения $(y+x)\dfrac {\partial z}{\partial x}+(y-x)\dfrac {\partial z}{\partial y}=z$.

Найти общий интеграл уравнения $(x+y)\left(1+\dfrac {\partial z}{\partial x}+\dfrac {\partial z}{\partial y}\right)+z\dfrac {\partial z}{\partial x}=0$.

Найти общий интеграл уравнения $(z+y-x)\dfrac {\partial z}{\partial x}+(z+x-y)\dfrac {\partial z}{\partial y}=x+y-z$.

Найти общий интеграл уравнения $(z+x)x\dfrac {\partial z}{\partial x}+(z+y)y\dfrac {\partial z}{\partial y}=z^{2}-xy$.

Найти общий интеграл уравнения $(z+e^{x})\dfrac {\partial z}{\partial x}+(z+e^{y})\dfrac {\partial z}{\partial y}=z^{2}-e^{x+y}$.

Найти общий интеграл уравнения $x\dfrac {\partial u}{\partial x}+(z+u)\dfrac {\partial u}{\partial y}+(y+u)\dfrac {\partial u}{\partial z}=y+z$.

Найти общий интеграл уравнения $\dfrac {\partial u}{\partial x}+\dfrac {\partial u}{\partial y}+\dfrac {\partial u}{\partial z}=xyz$.

Найти общий интеграл уравнения $x\dfrac {\partial u}{\partial x}+y\dfrac {\partial u}{\partial y}+z\dfrac {\partial u}{\partial z}=u+\dfrac {xy}{z}$.

Найти общий интеграл уравнения $x\dfrac {\partial u}{\partial x}+y\dfrac {\partial u}{\partial y}+z\dfrac {\partial u}{\partial z}=x^{2}+2u$.

Найти общий интеграл уравнения $xy\dfrac {\partial u}{\partial x}-\sqrt{1-y^{2}}\left(y\dfrac {\partial u}{\partial y}-z\dfrac {\partial u}{\partial z}\right)=axy\dfrac {\partial u}{\partial z}$.

Найти общий интеграл уравнения $(s-x)\dfrac {\partial u}{\partial x}+(s-y)\dfrac {\partial u}{\partial y}+(s-z)\dfrac {\partial u}{\partial z}=s-u$; $s=x+y+z+u$.

Найти общий интеграл уравнения $xz\dfrac {\partial z}{\partial x}+yz\dfrac {\partial z}{\partial y}=xy$.

Найти общий интеграл уравнения $\dfrac {\partial z}{\partial x}-a\dfrac {\partial z}{\partial y}=e^{mx}\cos py$.

Найти общий интеграл уравнения $\dfrac {\partial u}{\partial x}+b\dfrac {\partial u}{\partial y}+c\dfrac {\partial u}{\partial z}=xyz$.

Найти общий интеграл уравнения $\dfrac {1}{\cos x}\dfrac {\partial z}{\partial x}+a\dfrac {\partial z}{\partial y}=z\ctg y$.

Найти общий интеграл уравнения $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+\sqrt{1+y^{2}}\dfrac {\partial z}{\partial y}=xy$.

Найти общий интеграл уравнения $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y}=2xy\sqrt{a^{2}-z^{2}}$.

Найти общий интеграл уравнения $(y-bz)\dfrac {\partial z}{\partial x}-(x-az)\dfrac {\partial z}{\partial y}=bx-ay$.

Найти уравнение в частных производных для конических плоскостей, образующие которых проходят через начало координат, зная, что если $u(x,y,z)=0$ — уравнение поверхности, то

— уравнение касательной плоскости.

Найти уравнение в частных производных для цилиндрических поверхностей, образующие которых параллельны вектору $\overrightarrow {P}(l,m,n)$.

Проинтегрировать уравнение конических поверхностей $x\dfrac {\partial u}{\partial x}+y\dfrac {\partial u}{\partial y}+z\dfrac {\partial u}{\partial z}=0$. С помощью полученного результата найти уравнение конической поверхности, направляющая которой имеет уравнение $x^{2}+y^{2}=ax$, $z=1$.

Проинтегрировать уравнение цилиндрических поверхностей и в полученном общем интеграле определить вид произвольной функции так, чтобы поверхность проходила через окружность $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, $z=1$.

Однородные функции измерения $n$ по определению обладают свойством (в случае трех переменных): $f(tx,ty,tz)=t^{n}f(x,y,z)$. По теореме Эйлера для них имеет место равенство $x\dfrac {\partial f}{\partial x}+y\dfrac {\partial f}{\partial y}+z\dfrac {\partial f}{\partial z}=nf$. Доказать обратную теорему: из этого уравнения в частных производных вытекает функциональное свойство однородных функций.

Найти поверхность, проходящую через кривую $xy=a^{2}$, $z=h$ и удовлетворяющую уравнению

Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

и проходящую через кривую $x=a$, $2ayz=a^{2}+2$.

Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению $(x^{2}+y^{2})\dfrac {\partial z}{\partial x}+2xy\dfrac {\partial z}{\partial y}=xz$ и проходящую через кривую $x=a$, $y^{2}+z^{2}=a^{2}$.

Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению $z\dfrac {\partial z}{\partial x}-z\dfrac {\partial z}{\partial y}=y-x$ и проходящую через кривую $x=1$, $z=y^{2}$.

Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению $2xz\dfrac {\partial z}{\partial x}+2yz\dfrac {\partial z}{\partial y}=z^{2}-x^{2}-y^{2}$ и проходящую через окружность $x+y+z=0$, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$.

Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

и проходящую через окружность $z=h$, $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.

Найти общее уравнение поверхностей, пересекающих под прямым углом конусы $xy=\alpha z^{2}$.

Найти уравнение поверхностей, ортогональных к поверхностям $xyz=\alpha$.

Найти поверхность, проходящую через прямую $y=x$, $z=h$ и ортогональную к поверхностям шаров $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\alpha x$.

Найти поверхность, проходящую через окружность $z=h$, $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ и ортогональную к гиперболическим параболоидам $xy=\alpha z$.

Найти поверхность, проходящую через кривую $y=x$, $z=x^{3}$ и удовлетворяющую уравнению $x\dfrac {\partial z}{\partial x}-y\dfrac {\partial z}{\partial y}=z$.

Найти асимптотические линии предыдущей поверхности (см. задачу 4521), зная, что асимптотические линии поверхности $f(x,y,z)=0$ определяются уравнением $\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x^{2}}\, dx^{2}+2\dfrac {\partial^{2}z}{\partial x\partial y}\, dx\, dy+\dfrac {\partial^{2}z}{\partial y^{2}}\, dy^{2}=0$.

Найти решение уравнения $z(x+z)\dfrac {\partial z}{\partial x}-y(y+z)\dfrac {\partial z}{\partial y}=0$, обращающееся в $z=\sqrt{y}$ при $x=1$.

Проинтегрировать уравнение $x^{n}\dfrac {\partial z}{\partial x}+y^{n}\dfrac {\partial z}{\partial y}=z^{n}$. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению и проходящую через прямую $z=1$, $x=y\sqrt{2}$. Рассмотреть случаи $n=\pm 1$.

Найти линии кривизны предыдущей поверхности (см. задачу 4524) при $n=-1$, зная, что линии кривизны поверхности $z=f(x,y)$ определяются уравнением

где $p$, $q$, $r$, $s$, $t$ — соответственно частные производные $z'_{x}$, $z'_{y}$, $z''_{xx}$, $z''_{xy}$, $z''_{yy}$.

Найти поверхности, удовлетворяющие уравнению

и доказать, что они получаются движением кругов.

Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

и проходящую через эллипс $x=2z$, $x^{2}+y^{2}=a^{2}$. Доказать, что это — линейчатая поверхность, и найти ортогональные траектории ее образующих.

Найти решение уравнения $2xz\dfrac {\partial z}{\partial x}+2yz\dfrac {\partial z}{\partial y}=z^{2}-x^{2}-y^{2}$, заключающее гиперболу $x=a$, $z^{2}-y^{2}=a^{2}$.

Проинтегрировать уравнение

Найти поверхности, удовлетворяющие предыдущему уравнению (см. задачу 4529) и проходящие через линии:

Найдя решение уравнения $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y}=2z$, проходящее через кривую $z=y=2x^{3}$, найти ортогональные траектории проекций на $xOy$ его асимптотических линий (см. задачу 4522).

Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

и заключающую эллипс $x=0$, $y^{2}+4z^{2}=4a^{2}$.

Для предыдущей поверхности (см. задачу 4532) найти линии стока, т.е. ортогональные траектории линий уровня или сечений поверхности плоскостями $z=C$.

Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению $xy^{2}\dfrac {\partial z}{\partial x}+x^{2}y\dfrac {\partial z}{\partial y}=z(x^{2}+y^{2})$, зная, что одно из семейств ее асимптотических линий состоит из характеристических линий.

Найти ортогональные поверхности для семейства поверхностей предыдущей задачи (см. задачу 4534).

Найти поверхность, проходящую через окружность $z=0$, $x^{2}+y^{2}=y$ и удовлетворяющую уравнению

Среди функций, удовлетворяющих уравнению $x\dfrac {\partial z}{\partial x}+y\dfrac {\partial z}{\partial y}=0$, найти такую, которая удовлетворяет и уравнению

Найти поверхности, у которых касательная плоскость в любой точке $M$ пересекает ось $Oz$ в точке, равноудаленной от начала координат и от точки $M$.

Найти поверхности, у которых касательная плоскость в точке с координатой $z$ пересекает $Oz$ в точке с координатой $nz$.

Найти решение системы

в котором $u=z^{2}$ при $x=y=0$.