Глава 2

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

[845/96%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

2.8 · Направление вогнутости. Точки перегиба[21/100%]

Задача 1298

Исследовать направление вогнутости кривой

y=1+\sqrt[3]{x}

в точках $A(-1,0)$ , $B(1,2)$ и $C(0,0)$ .

Задача 1299

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=3x^{2}-x^{3}$ .

Задача 1300

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=\dfrac {a^{2}}{a^{2}+x^{2}}$ $(a>0)$ .

Задача 1301

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=x+x^{5/3}$ .

Задача 1302

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=\sqrt{1+x^{2}}$ .

Задача 1303

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=x+\sin x$ .

Задача 1304

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=e^{-x^{2}}$ .

Задача 1305

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=\ln (1+x^{2})$ .

Задача 1306

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=x\sin (\ln x)$ $(x>0)$ .

Задача 1307

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=x^{x}$ $(x>0)$ .

Задача 1308

Показать, что кривая

y=\frac{x+1}{x^{2}+1}

имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой. Построить график этой функции.

Задача 1309

При каком выборе параметра $h$ «кривая вероятности»

y=\frac{h}{\sqrt{\pi }}e^{-h^{2}x^{2}} \quad (h>0)

имеет точки перегиба $x=\pm \sigma$ ?

Задача 1310

Исследовать направление вогнутости циклоиды

x=a(t-\sin t), \qquad y=a(1-\cos t) \quad (a>0).

Задача 1311

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в промежутке $a \leq x<+\infty$ , причем: 1) $f(a)=A>0$ ; 2) $f'(a)<0$ ; 3) $f''(x) \leq 0$ при $x>a$ . Доказать, что уравнение $f(x)=0$ имеет один и только один действительный корень в интервале $(a,+\infty )$ .

Задача 1312

(а)(б)

Функция $f(x)$ называется выпуклой снизу (сверху) на интервале $(a,b)$ , если для любых точек $x_{1}$ и $x_{2}$ из этого интервала и произвольных чисел $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ $(\lambda_{1}>0,\ \lambda_{2}>0,\ \lambda_{1}+\lambda_{2}=1)$ имеет место неравенство

f(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2})<\lambda _{1}f(x_{1})+\lambda _{2}f(x_{2})

(или соответственно противоположное неравенство

f(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2})>\lambda _{1}f(x_{1})+\lambda _{2}f(x_{2})).

Доказать, что:

(а)

функция $f(x)$ выпукла снизу на $(a,b)$ , если $f''(x)>0$ при $a<x<b$ ;

(б)

функция $f(x)$ выпукла сверху на $(a,b)$ , если $f''(x)<0$ при $a<x<b$ .

Задача 1313

Показать, что функции

x^{n} \ (n>1), \quad e^{x}, \quad x\ln x

выпуклы снизу на интервале $(0,+\infty )$ , а функции

x^{n} \ (0<n<1), \quad \ln x

выпуклы сверху на интервале $(0,+\infty )$ .

Задача 1314

(а)(б)(в)

Доказать неравенства и выяснить их геометрический смысл:

(а)

(б)

$\dfrac {e^{x}+e^{y}}{2}>e^{(x+y)/2}$ $(x\neq y)$ ;

(в)

$x\ln x+y\ln y>(x+y)\ln \dfrac {x+y}{2}$ , если $x>0$ и $y>0$ .

Задача 1314.1

Пусть $f''(x)>0$ при $a \leq x \leq b$ . Доказать, что

f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) \leq \frac{1}{2}\left[f(x_{1})+f(x_{2})\right]

при любых $x_{1}, x_{2} \in [a,b]$ .

Задача 1314.1

Пусть $f''(x)>0$ при $a \leq x \leq b$ . Доказать, что

f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) \leq \frac{1}{2}\left[f(x_{1})+f(x_{2})\right]

при любых $x_{1}, x_{2} \in [a,b]$ .

Задача 1315

Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду непрерывна и имеет односторонние левую и правую производные.

Задача 1316

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в интервале $(a,b)$ и $f''(\xi )\neq 0$ , где $a<\xi <b$ . Доказать, что в интервале $(a,b)$ можно найти два значения $x_{1}$ и $x_{2}$ такие, что

\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=f'(\xi ).

Задача 1317

Доказать, что если функция $f(x)$ дважды дифференцируема в бесконечном интервале $(x_{0},+\infty )$ и

\lim _{x\to x_{0}+0}f(x)=0, \qquad \lim _{x\to +\infty }f(x)=0,

то в интервале $(x_{0},+\infty )$ имеется по меньшей мере одна точка $\xi$ такая, что $f''(\xi )=0$ .

2.9 · Раскрытие неопределенностей[65/89%]

Задача 1318

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\sin ax}{\sin bx}$ .

Задача 1319

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\ch x-\cos x}{x^{2}}$ .

Задача 1320

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\tg x-x}{x-\sin x}$ .

Задача 1321

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {3\tg 4x-12\tg x}{3\sin 4x-12\sin x}$ .

Задача 1322

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to \pi /2}\dfrac {\tg 3x}{\tg x}$ .

Задача 1323

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {x\ctg x-1}{x^{2}}$ .

Задача 1324

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to \pi /4}\dfrac {\sqrt[3]{\tg x}-1}{2\sin^{3}x-1}$ .

Задача 1325

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {x(e^{x}+1)-2(e^{x}-1)}{x^{3}}$ .

Задача 1326

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {1-\cos x^{2}}{x^{2}\sin x^{2}}$ .

Задача 1327

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\arcsin 2x-2\arcsin x}{x^{3}}$ .

Задача 1328

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {1}{x\sqrt{x}}\left(\sqrt{a}\arctg \sqrt{\dfrac {x}{a}}-\sqrt{b}\arctg \sqrt{\dfrac {x}{b}}\right)$ .

Задача 1329

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {a^{x}-a^{\sin x}}{x^{3}}$ $(a>0)$ .

Задача 1330

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 1}\left(\dfrac {x^{x}-x}{\ln x-x+1}\right)$ .

Задача 1331

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\ln (\sin ax)}{\ln (\sin bx)}$ .

Задача 1332

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\ln (\cos ax)}{\ln (\cos bx)}$ .

Задача 1333

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$ .

Задача 1334

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {1}{x}\left(\dfrac {1}{\th x}-\dfrac {1}{\tg x}\right)$ .

Задача 1335

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\operatorname {Arsh}(\sh x)-\operatorname {Arsh}(\sin x)}{\sh x-\sin x}$ , где $\operatorname {Arsh}x=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ .

Задача 1336

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\dfrac {\ln x}{x^{\varepsilon }}$ $(\varepsilon >0)$ .

Задача 1337

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\dfrac {x^{n}}{e^{ax}}$ $(a>0,\ n>0)$ .

Задача 1338

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {e^{-1/x^{2}}}{x^{100}}$ .

Задача 1339

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }x^{2}e^{-0{,}01x}$ .

Задача 1340

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 1-0}\ln x\cdot \ln (1-x)$ .

Задача 1341

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +0}x^{\varepsilon }\ln x$ $(\varepsilon >0)$ .

Задача 1342

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +0}x^{x}$ .

Задача 1343

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}x^{x^{x}-1}$ .

Задача 1344

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}(x^{x^{x}}-1)$ .

Задача 1345

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +0}x^{k/(1+\ln x)}$ .

Задача 1346

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 1}x^{1/(1-x)}$ .

Задача 1347

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 1}(2-x)^{\tg (\pi x/2)}$ .

Задача 1348

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to \pi /4}(\tg x)^{\tg 2x}$ .

Задача 1349

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}(\ctg x)^{\sin x}$ .

Задача 1350

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +0}\left(\ln \dfrac {1}{x}\right)^{x}$ .

Задача 1351

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to \infty }\left(\tg \dfrac {\pi x}{2x+1}\right)^{1/x}$ .

Задача 1352

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to a}\left(\dfrac {\tg x}{\tg a}\right)^{\ctg (x-a)}$ .

Задача 1353

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {a^{x}-x\ln a}{b^{x}-x\ln b}\right)^{1/x^{2}}$ .

Задача 1354

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{e^{x}-1}\right)$ .

Задача 1355

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 1}\left(\dfrac {1}{\ln x}-\dfrac {1}{x-1}\right)$ .

Задача 1356

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\ctg x-\dfrac {1}{x}\right)$ .

Задача 1357

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left[\dfrac {1}{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}-\dfrac {1}{\ln (1+x)}\right]$ .

Задача 1358

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to a}\dfrac {a^{x}-x^{a}}{x-a}$ $(a>0)$ .

Задача 1359

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {(1+x)^{1/x}-e}{x}$ .

Задача 1360

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {(a+x)^{x}-a^{x}}{x^{2}}$ $(a>0)$ .

Задача 1361

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\left(\dfrac {2}{\pi }\arctg x\right)^{x}$ .

Задача 1362

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }(\th x)^{x}$ .

Задача 1363

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\arcsin x}{x}\right)^{1/x^{2}}$ .

Задача 1363.1

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\sin x}{x}\right)^{1/x^{2}}$ .

Задача 1363.1

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\sin x}{x}\right)^{1/x^{2}}$ .

Задача 1363.2

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\tg x}{x}\right)^{1/x^{2}}$ .

Задача 1363.2

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\tg x}{x}\right)^{1/x^{2}}$ .

Задача 1363.3

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\arctg x}{x}\right)^{1/x^{2}}$ .

Задача 1363.3

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\arctg x}{x}\right)^{1/x^{2}}$ .

Задача 1363.4

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\operatorname {Arsh}x}{x}\right)^{1/x^{2}}$ , где $\operatorname {Arsh}x=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ .

Задача 1363.4

Задача 1364

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left[\left(\dfrac {(1+x)^{1/x}}{e}\right)^{1/x}\right]$ .

Задача 1365

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {2}{\pi }\arccos x\right)^{1/x}$ .

Задача 1366

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\cos x}{\ch x}\right)^{1/x^{2}}$ .

Задача 1367

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\ln \ch x}{\sqrt[m]{\ch x}-\sqrt[n]{\ch x}}$ .

Задача 1368

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {1+e^{x}}{2}\right)^{\cth x}$ .

Задача 1368.1

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\dfrac {x^{\ln x}}{(\ln x)^{x}}$ .

Задача 1368.1

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\dfrac {x^{\ln x}}{(\ln x)^{x}}$ .

Задача 1369

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\left[\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}+x+1}\cdot \dfrac {\ln (e^{x}+x)}{x}\right]$ .

Задача 1370

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\left[(x+a)^{1+(1/x)}-x^{1+1/(x+a)}\right]$ .

Задача 1371

Найти $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {y}{x}$ , если кривая $y=f(x)$ входит при $x\to 0$ в начало координат $(0,0)$ $\left(\lim \limits_{x\to 0}f(x)=f(0)=0\right)$ под углом $\alpha$ .

Задача 1372

Доказать, что $\lim \limits_{x\to +0}x^{f(x)}=1$ , если непрерывная кривая $y=f(x)$ входит при $x\to +0$ в начало координат $\left(\lim \limits_{x\to +0}f(x)=0\right)$ и при $0<x<\varepsilon$ целиком остается внутри острого угла, образованного прямыми: $y=-kx$ и $y=kx$ $(k\neq \infty )$ .

Задача 1373

Доказать, что если для функции $f(x)$ существует вторая производная $f''(x)$ , то

f''(x)=\lim _{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}.

Задача 1373.1

Исследовать на дифференцируемость в точке $x=0$ функцию:

f(x)=\begin{cases} \dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{e^{x}-1}, & \text{если } x\neq 0; \\ \dfrac {1}{2}, & \text{если } x=0. \end{cases}

Задача 1373.1

Исследовать на дифференцируемость в точке $x=0$ функцию:

f(x)=\begin{cases} \dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{e^{x}-1}, & \text{если } x\neq 0; \\ \dfrac {1}{2}, & \text{если } x=0. \end{cases}

Задача 1373.2

Найти асимптоту кривой $y=\dfrac {x^{1+x}}{(1+x)^{x}}$ $(x>0)$ .

Задача 1373.2

Найти асимптоту кривой $y=\dfrac {x^{1+x}}{(1+x)^{x}}$ $(x>0)$ .

Задача 1374

(а)(б)(в)(г)

Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующим примерам:

(а)

$\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {x^{2}\sin \dfrac {1}{x}}{\sin x}$ ;

(б)

$\lim \limits_{x\to \infty }\dfrac {x-\sin x}{x+\sin x}$ ;

(в)

$\lim \limits_{x\to +\infty }\dfrac {e^{-2x}(\cos x+2\sin x)+e^{-x^{2}}\sin^{2}x}{e^{-x}(\cos x+\sin x)}$ ;

(г)

$\lim \limits_{x\to \infty }\dfrac {1+x+\sin x\cos x}{(x+\sin x\cos x)e^{\sin x}}$ .

Задача 1375

Найти предел отношения площади кругового сегмента, имеющего хорду $b$ и стрелку $h$ , к площади равнобедренного треугольника, вписанного в этот сегмент, если дуга сегмента при неизменном радиусе $R$ стремится к нулю. Пользуясь полученным результатом, вывести приближенную формулу для площади сегмента:

S \approx \frac{2}{3}bh.

2.12 · Построение графиков функций по характерным точкам[88/97%]

Задача 1471

Построить график следующей функции: $y=3x-x^{3}$ .

Задача 1472

Построить график следующей функции: $y=1+x^{2}-\dfrac {x^{4}}{2}$ .

Задача 1473

Построить график следующей функции: $y=(x+1)(x-2)^{2}$ .

Задача 1474

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {2-x^{3}}{1+x^{4}}$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1475

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x^{2}-1}{x^{2}-5x+6}$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1476

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x}{(1+x)(1-x)^{2}}$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1477

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x^{4}}{(1+x)^{3}}$ .

Задача 1478

Построить график следующей функции: $y=\left(\dfrac {1+x}{1-x}\right)^{4}$ .

Задача 1479

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x^{2}(x-1)}{(x+1)^{2}}$ .

Задача 1480

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x}{(1-x^{2})^{2}}$ .

Задача 1481

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {(x+1)^{3}}{(x-1)^{2}}$ .

Задача 1482

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x^{4}+8}{x^{3}+1}$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1483

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {1}{1+x}-\dfrac {10}{3x^{2}}+\dfrac {1}{1-x}$ .

Задача 1484

Построить график следующей функции: $y=(x-3)\sqrt{x}$ .

Задача 1485

Построить график следующей функции: $y=\pm \sqrt{8x^{2}-x^{4}}$ .

Задача 1485.1

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x-2}{\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 1485.1

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x-2}{\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 1486

Построить график следующей функции: $y=\pm \sqrt{(x-1)(x-2)(x-3)}$ .

Задача 1487

Построить график следующей функции: $y=\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}-x+1}$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1488

Построить график следующей функции: $y=\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x^{3}+1}$ .

Задача 1489

Построить график следующей функции: $y=(x+2)^{2/3}-(x-2)^{2/3}$ .

Задача 1490

Построить график следующей функции: $y=(x+1)^{2/3}+(x-1)^{2/3}$ .

Задача 1491

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x}{\sqrt[3]{x^{3}-1}}$ .

Задача 1492

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x^{2}\sqrt{x^{2}-1}}{2x^{2}-1}$ .

Задача 1493

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {\left|1+x\right|^{3/2}}{\sqrt{x}}$ .

Задача 1494

Построить график следующей функции: $y=1-x+\sqrt{\dfrac {x^{3}}{3+x}}$ .

Задача 1495

Построить график следующей функции: $y=\sqrt[3]{\dfrac {x^{2}}{x+1}}$ .

Задача 1496

Построить график следующей функции: $y=\sqrt{\dfrac {x^{4}+3}{x^{2}+1}}$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1497

Построить график следующей функции: $y=\sin x+\cos^{2}x$ .

Задача 1498

Построить график следующей функции: $y=(7+2\cos x)\sin x$ .

Задача 1499

Построить график следующей функции: $y=\sin x+\dfrac {1}{3}\sin 3x$ .

Задача 1500

Построить график следующей функции: $y=\cos x-\dfrac {1}{2}\cos 2x$ .

Задача 1501

Построить график следующей функции: $y=\sin^{4}x+\cos^{4}x$ .

Задача 1502

Построить график следующей функции: $y=\sin x\cdot \sin 3x$ .

Задача 1503

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {\sin x}{\sin \left(x+\dfrac {\pi }{4}\right)}$ .

Задача 1504

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {\cos x}{\cos 2x}$ .

Задача 1504.1

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {\sin x}{2+\cos x}$ .

Задача 1504.1

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {\sin x}{2+\cos x}$ .

Задача 1505

Построить график следующей функции: $y=2x-\tg x$ .

Задача 1506

Построить график следующей функции: $y=e^{2x-x^{2}}$ .

Задача 1507

Построить график следующей функции: $y=(1+x^{2})e^{-x^{2}}$ .

Задача 1508

Построить график следующей функции: $y=x+e^{-x}$ .

Задача 1509

Построить график следующей функции: $y=x^{2/3}e^{-x}$ .

Задача 1509.1

Построить график следующей функции: $y=e^{-2x}\sin^{2}x$ .

Задача 1509.1

Построить график следующей функции: $y=e^{-2x}\sin^{2}x$ .

Задача 1510

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {e^{x}}{1+x}$ .

Задача 1511

Построить график следующей функции: $y=\sqrt{1-e^{-x^{2}}}$ .

Задача 1512

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {\ln x}{\sqrt{x}}$ .

Задача 1513

Построить график следующей функции: $y=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ .

Задача 1514

Построить график следующей функции: $y=\sqrt{x^{2}+1}\cdot \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ .

Задача 1515

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 1516

Построить график следующей функции: $y=x+\arctg x$ .

Задача 1517

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {x}{2}+\operatorname {arcctg}x$ .

Задача 1518

Построить график следующей функции: $y=x\arctg x$ .

Задача 1519

Построить график следующей функции: $y=\arcsin \dfrac {2x}{1+x^{2}}$ .

Задача 1520

Построить график следующей функции: $y=\arccos \dfrac {1-x^{2}}{1+x^{2}}$ .

Задача 1521

Построить график следующей функции: $y=(x+2)e^{1/x}$ .

Задача 1522

Построить график следующей функции: $y=2^{\sqrt{x^{2}+1}}-\sqrt{x^{2}-1}$ .

Задача 1523

Построить график следующей функции: $y=\ln \dfrac {x^{2}-3x+2}{x^{2}+1}$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1524

Построить график следующей функции: $y=a\arcsin \dfrac {x}{a}-\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ $(a>0)$ .

Задача 1525

Построить график следующей функции: $y=\arccos \dfrac {1-x}{1-2x}$ .

Задача 1526

Построить график следующей функции: $y=x^{x}$ .

Задача 1527

Построить график следующей функции: $y=x^{1/x}$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1528

Построить график следующей функции: $y=(1+x)^{1/x}$ .

Задача 1529

Построить график следующей функции: $y=x\left(1+\dfrac {1}{x}\right)^{x}$ $(x>0)$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1530

Построить график следующей функции: $y=\dfrac {e^{1/(1-x^{2})}}{1+x^{2}}$ (без исследования вогнутости).

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1531

Построить кривую, заданную в параметрической форме: $x=\dfrac {(t+1)^{2}}{4}$ , $y=\dfrac {(t-1)^{2}}{4}$ .

Задача 1532

Построить кривую, заданную в параметрической форме: $x=2t-t^{2}$ , $y=3t-t^{3}$ .

Задача 1533

Построить кривую, заданную в параметрической форме: $x=\dfrac {t^{2}}{t-1}$ , $y=\dfrac {t}{t^{2}-1}$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1534

Построить кривую, заданную в параметрической форме: $x=\dfrac {t^{2}}{1-t^{2}}$ , $y=\dfrac {1}{1+t^{2}}$ .

Задача 1535

Построить кривую, заданную в параметрической форме: $x=t+e^{-t}$ , $y=2t+e^{-2t}$ .

Задача 1536

Построить кривую, заданную в параметрической форме: $x=a\cos 2t$ , $y=a\cos 3t$ $(a>0)$ .

Задача 1537

Построить кривую, заданную в параметрической форме: $x=\cos^{4}t$ , $y=\sin^{4}t$ .

Задача 1538

Построить кривую, заданную в параметрической форме: $x=t\ln t$ , $y=\dfrac {\ln t}{t}$ .

Задача 1539

Построить кривую, заданную в параметрической форме: $x=\dfrac {a}{\cos^{3}t}$ , $y=a\tg^{3}t$ $(a>0)$ .

Задача 1540

Построить кривую, заданную в параметрической форме: $x=a(\sh t-t)$ , $y=a(\ch t-1)$ $(a>0)$ .

Задача 1541

Представив уравнение кривой в параметрической форме, построить эту кривую: $x^{3}+y^{3}-3axy=0$ $(a>0)$ .

Примечание.

Указание. Положить $y=tx$ .

Задача 1542

Представив уравнение кривой в параметрической форме, построить эту кривую: $x^{2}+y^{2}=x^{4}+y^{4}$ .

Задача 1543

Представив уравнение кривой в параметрической форме, построить эту кривую: $x^{2}y^{2}=x^{3}-y^{3}$ .

Задача 1544

Представив уравнение кривой в параметрической форме, построить эту кривую: $x^{y}=y^{x}$ $(x>0,\ y>0)$ .

Задача 1545

Построить график кривой: $\ch^{2}x-\ch^{2}y=1$ .

Задача 1546

Построить график функции, заданной в полярной системе координат $(\varphi ,r)$ $(r \geq 0)$ : $r=a+b\cos \varphi$ $(0<a \leq b)$ .

Задача 1547

Построить график функции, заданной в полярной системе координат $(\varphi ,r)$ $(r \geq 0)$ : $r=a\sin 3\varphi$ $(a>0)$ .

Задача 1548

Построить график функции, заданной в полярной системе координат $(\varphi ,r)$ $(r \geq 0)$ : $r=\dfrac {a}{\sqrt{\cos 3\varphi }}$ $(a>0)$ .

Задача 1549

Построить график функции, заданной в полярной системе координат $(\varphi ,r)$ $(r \geq 0)$ : $r=a\dfrac {\th \varphi }{\varphi -1}$ , где $\varphi >1$ $(a>0)$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1550

Построить график функции, заданной в полярной системе координат $(\varphi ,r)$ $(r \geq 0)$ : $\varphi =\arccos \dfrac {r-1}{r^{2}}$ .

Примечание.

В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются приближенно.

Задача 1551

Построить графики семейства кривых ( $a$ — переменный параметр): $y=x^{2}-2x+a$ .

Задача 1552

Построить графики семейства кривых ( $a$ — переменный параметр): $y=x+\dfrac {a^{2}}{x}$ .

Задача 1553

Построить графики семейства кривых ( $a$ — переменный параметр): $y=x\pm \sqrt{a(1-x^{2})}$ .

Задача 1554

Построить графики семейства кривых ( $a$ — переменный параметр): $y=\dfrac {x}{2}+e^{-ax}$ .

Задача 1555

Построить графики семейства кривых ( $a$ — переменный параметр): $y=xe^{-x/a}$ .

2.13 · Задачи на максимум и минимум функций[35/100%]

Задача 1556

Доказать, что если функция $f(x)$ неотрицательна, то функция $F(x)=Cf^{2}(x)$ $(C>0)$ имеет в точности те же точки экстремума, что и функция $f(x)$ .

Задача 1557

Доказать, что если функция $\varphi (x)$ — монотонно возрастающая в строгом смысле при $-\infty <x<+\infty$ , то функции $f(x)$ и $\varphi (f(x))$ имеют одни и те же точки экстремума.

Задача 1558

Определить наибольшее значение произведения $m$ -й и $n$ -й степеней $(m>0,\ n>0)$ двух положительных чисел, сумма которых постоянна и равна $a$ .

Задача 1559

Найти наименьшее значение суммы $m$ -й и $n$ -й степеней $(m>0,\ n>0)$ двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно $a$ .

Задача 1560

В каких системах логарифмов существуют числа, равные своему логарифму?

Задача 1561

Из всех прямоугольников данной площади $S$ определить тот, периметр которого наименьший.

Задача 1562

Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.

Задача 1563

При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости $V$ будет иметь наименьшую полную поверхность?

Задача 1564

В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью.

Задача 1565

В эллипс $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса, площадь которого наибольшая.

Задача 1566

В треугольник с основанием $b$ и высотой $h$ вписать прямоугольник с наибольшим периметром. Исследовать возможность решения этой задачи.

Задача 1567

Из круглого бревна диаметра $d$ вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно $b$ и высота $h$ . При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если прочность ее пропорциональна $bh^{2}$ ?

Задача 1568

В полушар радиуса $R$ вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объема.

Задача 1569

В шар радиуса $R$ вписать цилиндр наибольшего объема.

Задача 1570

В шар радиуса $R$ вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

Задача 1571

Около данного шара описать конус наименьшего объема.

Задача 1572

Найти наибольший объем конуса с данной образующей $l$ .

Задача 1573

В прямой круговой конус с углом $2\alpha$ в осевом сечении и радиусом основания $R$ вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

Задача 1574

Найти кратчайшее расстояние точки $M(p,p)$ от параболы $y^{2}=2px$ .

Задача 1575

Найти кратчайшее и наибольшее расстояния точки $A(2,0)$ от окружности $x^{2}+y^{2}=1$ .

Задача 1576

Найти наибольшую хорду эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ $(0<b<a)$ , проходящую через вершину $B(0,-b)$ .

Задача 1577

Через точку $M(x,y)$ эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ провести касательную, образующую с осями координат треугольник, площадь которого наименьшая.

Задача 1578

Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его равен $V$ .

Задача 1579

Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне $\varphi$ боков «мокрый периметр» сечения будет наименьшим, если площадь «живого сечения» воды в канале равна $S$ , а уровень воды равен $h$ ?

Задача 1580

Извилистостью замкнутого контура, ограничивающего площадь $S$ , называется отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же площади $S$ .

Какова форма равнобедренной трапеции $ABCD$ ( $AD\parallel BC$ ), обладающей наименьшей извилистостью, если основание $AD=2a$ и острый угол $BAD=\alpha$ ?

Задача 1581

Какой сектор следует вырезать из круга радиуса $R$ , чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.

Задача 1582

Завод $A$ отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город $B$ , считая по кратчайшему расстоянию, на $a$ км. Под каким углом $\varphi$ к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из $A$ в $B$ была наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному пути $p$ р., по железной дороге $q$ р. $(p>q)$ и город $B$ расположен на $b$ км севернее завода $A$ ?

Задача 1583

Два корабля плывут с постоянными скоростями $u$ и $v$ по прямым линиям, составляющим угол $\theta$ между собой. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент расстояния их от точки пересечения путей были соответственно равны $a$ и $b$ .

Задача 1584

В точках $A$ и $B$ находятся источники света соответственно силой $S_{1}$ и $S_{2}$ свечей. На отрезке $AB=a$ найти наименее освещенную точку $M$ .

Задача 1585

Светящаяся точка находится на линии центров двух непересекающихся шаров радиусов $R$ и $r$ $(R>r)$ и расположена вне этих шаров. При каком положении точки сумма освещенных частей поверхностей шаров будет наибольшая?

Задача 1586

На какой высоте над центром круглого стола радиуса $a$ следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей?

Примечание.

Указание. Яркость освещения выражается формулой

I=k\frac{\sin \varphi }{r^{2}},

где $\varphi$ — угол наклона лучей, $r$ — расстояние источника света от освещаемой площадки, $k$ — сила источника света.

Задача 1587

К реке шириной $a$ м построен под прямым углом канал шириной $b$ м. Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал?

Задача 1588

Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоянной, равной $a$ р, и переменной, возрастающей пропорционально кубу скорости. При какой скорости $v$ плавание судна будет наиболее экономичным?

Задача 1589

Груз весом $P$ , лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости, требуется сдвинуть с места приложенной силой. При каком наклоне этой силы к горизонту величина ее будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен $k$ ?

Задача 1590

В чашку, имеющую форму полушара радиуса $a$ , опущен стержень длины $l>2a$ . Найти положение равновесия стержня.

2.14 · Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта[26/100%]

Задача 1591

Подобрать параметры $k$ и $b$ прямой $y=kx+b$ так, чтобы она имела с кривой $y=x^{3}-3x^{2}+2$ касание порядка выше первого.

Задача 1592

При каком выборе коэффициентов $a$ , $b$ и $c$ парабола

y=ax^{2}+bx+c

имеет в точке $x=x_{0}$ касание 2-го порядка с кривой $y=e^{x}$ ?

Задача 1593

(а)(б)(в)

Какой порядок касания с осью $Ox$ имеют в точке $x=0$ кривые:

(а)

$y=1-\cos x$ ;

(б)

$y=\tg x-\sin x$ ;

(в)

$y=e^{x}-\left(1+x+\dfrac {x^{2}}{2}\right)$ ?

Задача 1594

Доказать, что кривая $y=e^{-1/x^{2}}$ при $x\neq 0$ и $y=0$ при $x=0$ имеет в точке $x=0$ с осью $Ox$ касание бесконечно большого порядка.

Задача 1595

(а)(б)

Найти радиус и центр кривизны гиперболы $xy=1$ в точках:

(а)

$M(1,1)$ ;

(б)

$N(100,0{,}01)$ .

Задача 1596

Определить радиус кривизны следующей кривой: параболы $y^{2}=2px$ .

Задача 1597

Определить радиус кривизны следующей кривой: эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a \geq b>0)$ .

Задача 1598

Определить радиус кривизны следующей кривой: гиперболы $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ .

Задача 1599

Определить радиус кривизны следующей кривой: астроиды $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ .

Задача 1600

Определить радиус кривизны следующей кривой: эллипса $x=a\cos t$ , $y=b\sin t$ .

Задача 1601

Определить радиус кривизны следующей кривой: циклоиды $x=a(t-\sin t)$ , $y=a(1-\cos t)$ .

Задача 1602

Определить радиус кривизны следующей кривой: эвольвенты круга $x=a(\cos t+t\sin t)$ , $y=a(\sin t-t\cos t)$ .

Задача 1603

Доказать, что радиус кривизны линии 2-го порядка $y^{2}=2px-qx^{2}$ пропорционален кубу отрезка нормали.

Задача 1604

Написать формулу радиуса кривизны линии, заданной в полярных координатах.

Задача 1605

Определить радиус кривизны следующей кривой, заданной в полярных координатах (параметры положительны): спирали Архимеда $r=a\varphi$ .

Задача 1606

Определить радиус кривизны следующей кривой, заданной в полярных координатах (параметры положительны): логарифмической спирали $r=ae^{m\varphi }$ .

Задача 1607

Определить радиус кривизны следующей кривой, заданной в полярных координатах (параметры положительны): кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$ .

Задача 1608

Определить радиус кривизны следующей кривой, заданной в полярных координатах (параметры положительны): лемнискаты $r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$ .

Задача 1609

На кривой $y=\ln x$ найти точку, кривизна в которой наибольшая.

Задача 1610

Максимальная кривизна кубической параболы $y=\dfrac {kx^{3}}{6}$ $(0 \leq x<+\infty ,\ k>0)$ равна $\dfrac {1}{1000}$ . Найти точку $x$ , в которой достигается эта максимальная кривизна.

Задача 1611

Составить уравнение эволюты следующей кривой: параболы $y^{2}=2px$ .

Задача 1612

Составить уравнение эволюты следующей кривой: эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ .

Задача 1613

Составить уравнение эволюты следующей кривой: астроиды $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ .

Задача 1614

Составить уравнение эволюты следующей кривой: трактрисы

x=a\ln \frac{a+\sqrt{a^{2}-y^{2}}}{y}-\sqrt{a^{2}-y^{2}}.

Задача 1615

Составить уравнение эволюты следующей кривой: логарифмической спирали $r=ae^{m\varphi }$ .

Задача 1616

Доказать, что эволюта циклоиды

x=a(t-\sin t), \qquad y=a(1-\cos t)

есть также циклоида, отличающаяся от данной только положением.

2.15 · Приближенное решение уравнений[11/100%]

Задача 1617

Пользуясь методом пропорциональных частей, определить с точностью до $0{,}001$ корни следующего уравнения: $x^{3}-6x+2=0$ .

Задача 1618

Пользуясь методом пропорциональных частей, определить с точностью до $0{,}001$ корни следующего уравнения: $x^{4}-x-1=0$ .

Задача 1619

Пользуясь методом пропорциональных частей, определить с точностью до $0{,}001$ корни следующего уравнения: $x-0{,}1\sin x=2$ .

Задача 1620

Пользуясь методом пропорциональных частей, определить с точностью до $0{,}001$ корни следующего уравнения: $\cos x=x^{3}$ .

Задача 1621

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующего уравнения: $x^{2}+\dfrac {1}{x^{2}}=10x$ (с точностью до $10^{-3}$ ).

Задача 1622

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующего уравнения: $x\lg x=1$ (с точностью до $10^{-4}$ ).

Задача 1623

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующего уравнения: $\cos x\cdot \ch x=1$ (с точностью до $10^{-3}$ ) (для положительного корня).

Задача 1624

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующего уравнения: $x+e^{x}=0$ (с точностью до $10^{-5}$ ).

Задача 1625

Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной точностью корни следующего уравнения: $x\th x=1$ (с точностью до $10^{-6}$ ).

Задача 1626

С точностью до $0{,}001$ найти три первых положительных корня уравнения $\tg x=x$ .

Задача 1627

С точностью до $10^{-3}$ найти два положительных корня уравнения $\ctg x=\dfrac {1}{x}-\dfrac {x}{2}$ .