Производные и дифференциалы высших порядков

Найти $y''$, если: $y=x\sqrt{1+x^{2}}$.

Найти $y''$, если: $y=\dfrac {x}{\sqrt{1-x^{2}}}$.

Найти $y''$, если: $y=e^{-x^{2}}$.

Найти $y''$, если: $y=\tg x$.

Найти $y''$, если: $y=(1+x^{2})\arctg x$.

Найти $y''$, если: $y=\dfrac {\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}$.

Найти $y''$, если: $y=x\ln x$.

Найти $y''$, если: $y=\ln f(x)$.

Найти $y''$, если: $y=x\left[\sin (\ln x)+\cos (\ln x)\right]$.

Найти $y(0)$, $y'(0)$ и $y''(0)$, если

Пусть $u=\varphi (x)$ и $v=\psi (x)$ — дважды дифференцируемые функции. Найти $y''$, если $y=u^{2}$.

Пусть $u=\varphi (x)$ и $v=\psi (x)$ — дважды дифференцируемые функции. Найти $y''$, если $y=\ln \dfrac {u}{v}$.

Пусть $u=\varphi (x)$ и $v=\psi (x)$ — дважды дифференцируемые функции. Найти $y''$, если $y=\sqrt{u^{2}+v^{2}}$.

Пусть $u=\varphi (x)$ и $v=\psi (x)$ — дважды дифференцируемые функции. Найти $y''$, если $y=u^{v}$ $(u>0)$.

Пусть $f(x)$ — трижды дифференцируемая функция. Найти $y'$ и $y'''$, если $y=f(x^{2})$.

Пусть $f(x)$ — трижды дифференцируемая функция. Найти $y'$ и $y'''$, если $y=f\left(\dfrac {1}{x}\right)$.

Пусть $f(x)$ — трижды дифференцируемая функция. Найти $y'$ и $y'''$, если $y=f(e^{x})$.

Пусть $f(x)$ — трижды дифференцируемая функция. Найти $y'$ и $y'''$, если $y=f(\ln x)$.

Найти $y'$ и $y'''$, если $y=f(\varphi (x))$, где $\varphi (x)$ — достаточное число раз дифференцируемая функция.

Найти $d^{2}y$ для функции $y=e^{x}$ в двух случаях:

Считая $x$ независимой переменной, найти $d^{2}y$, если $y=\sqrt{1+x^{2}}$.

Считая $x$ независимой переменной, найти $d^{2}y$, если $y=\dfrac {\ln x}{x}$.

Считая $x$ независимой переменной, найти $d^{2}y$, если $y=x^{x}$.

Пусть $u$ и $v$ — дважды дифференцируемые функции от переменной $x$. Найти $d^{2}y$, если $y=uv$.

Пусть $u$ и $v$ — дважды дифференцируемые функции от переменной $x$. Найти $d^{2}y$, если $y=\dfrac {u}{v}$.

Пусть $u$ и $v$ — дважды дифференцируемые функции от переменной $x$. Найти $d^{2}y$, если $y=u^{m}v^{n}$ ($m$ и $n$ — постоянные).

Пусть $u$ и $v$ — дважды дифференцируемые функции от переменной $x$. Найти $d^{2}y$, если $y=a^{u}$ $(a>0)$.

Пусть $u$ и $v$ — дважды дифференцируемые функции от переменной $x$. Найти $d^{2}y$, если $y=\ln \sqrt{u^{2}+v^{2}}$.

Пусть $u$ и $v$ — дважды дифференцируемые функции от переменной $x$. Найти $d^{2}y$, если $y=\arctg \dfrac {u}{v}$.

Найти производные $y'_{x}$, $y''_{x^{2}}$, $y'''_{x^{3}}$ от функции $y=y(x)$, заданной параметрически, если: $x=2t-t^{2}$, $y=3t-t^{3}$.

Найти производные $y'_{x}$, $y''_{x^{2}}$, $y'''_{x^{3}}$ от функции $y=y(x)$, заданной параметрически, если: $x=a\cos t$, $y=a\sin t$.

Найти производные $y'_{x}$, $y''_{x^{2}}$, $y'''_{x^{3}}$ от функции $y=y(x)$, заданной параметрически, если: $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$.

Найти производные $y'_{x}$, $y''_{x^{2}}$, $y'''_{x^{3}}$ от функции $y=y(x)$, заданной параметрически, если: $x=e^{t}\cos t$, $y=e^{t}\sin t$.

Найти производные $y'_{x}$, $y''_{x^{2}}$, $y'''_{x^{3}}$ от функции $y=y(x)$, заданной параметрически, если: $x=f'(t)$, $y=tf'(t)-f(t)$.

Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема достаточное число раз. Найти производные $x'$, $x''$, $x'''$, $x^{IV}$ обратной функции $x=f^{-1}(y)$, предполагая, что эти производные существуют.

Найти $y'_{x}$, $y''_{x^{2}}$ и $y'''_{x^{3}}$ от функции $y=y(x)$, заданной неявно: $x^{2}+y^{2}=25$. Чему равны $y'$, $y''$ и $y'''$ в точке $M(3,4)$?

Найти $y'_{x}$, $y''_{x^{2}}$ и $y'''_{x^{3}}$ от функции $y=y(x)$, заданной неявно: $y^{2}=2px$.

Найти $y'_{x}$, $y''_{x^{2}}$ и $y'''_{x^{3}}$ от функции $y=y(x)$, заданной неявно: $x^{2}-xy+y^{2}=1$.

Найти $y'_{x}$ и $y''_{x^{2}}$, если: $y^{2}+2\ln y=x^{4}$.

Найти $y'_{x}$ и $y''_{x^{2}}$, если: $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=ae^{\arctg y/x}$ $(a>0)$.

Пусть функция $f(x)$ определена и дважды дифференцируема при $x \leq x_{0}$. Как следует подобрать коэффициенты $a$, $b$ и $c$, чтобы функция

была дважды дифференцируема?

Точка движется прямолинейно по закону

Найти скорость и ускорение движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени $t=2$?

Точка $M(x,y)$ равномерно движется по окружности $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, делая один оборот за $T$ с. Найти скорость $v$ и ускорение $j$ проекции точки $M$ на ось $Ox$, если при $t=0$ точка занимала положение $M_{0}(a,0)$.

Тяжелая материальная точка $M(x,y)$ брошена в вертикальной плоскости $Oxy$ под углом $\alpha$ к плоскости горизонта с начальной скоростью $v_{0}$. Составить (пренебрегая сопротивлением воздуха) уравнения движения и определить величину скорости $v$ и ускорения $j$, а также траекторию движения. Чему равны наибольшая высота поднятия точки и дальность полета?

Уравнения движения точки

($\omega$ — постоянно). Определить траекторию движения и величину скорости и ускорения.

Найти производные указанного порядка: $y=x(2x-1)^{2}(x+3)^{3}$; найти $y^{(6)}$ и $y^{(7)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=\dfrac {a}{x^{m}}$; найти $y'''$.

Найти производные указанного порядка: $y=\sqrt{x}$; найти $y^{(10)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=\dfrac {x^{2}}{1-x}$; найти $y^{(8)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=\dfrac {1+x}{\sqrt{1-x}}$; найти $y^{(100)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=x^{2}e^{2x}$; найти $y^{(20)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=\dfrac {e^{x}}{x}$; найти $y^{(10)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=x\ln x$; найти $y^{(5)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=\dfrac {\ln x}{x}$; найти $y^{(5)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=x^{2}\sin 2x$; найти $y^{(50)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=\dfrac {\cos 3x}{\sqrt[3]{1-3x}}$; найти $y'''$.

Найти производные указанного порядка: $y=\sin x\sin 2x\sin 3x$; найти $y^{(10)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=x\sh x$; найти $y^{(100)}$.

Найти производные указанного порядка: $y=e^{x}\cos x$; найти $y^{IV}$.

Найти производные указанного порядка: $y=\sin^{2}x\ln x$; найти $y^{(6)}$.

Считая $x$ независимой переменной, найти дифференциал указанного порядка: $y=x^{5}$; найти $d^{5}y$.

Считая $x$ независимой переменной, найти дифференциал указанного порядка: $y=1/\sqrt{x}$; найти $d^{3}y$.

Считая $x$ независимой переменной, найти дифференциал указанного порядка: $y=x\cos 2x$; найти $d^{10}y$.

Считая $x$ независимой переменной, найти дифференциал указанного порядка: $y=e^{x}\ln x$; найти $d^{4}y$.

Считая $x$ независимой переменной, найти дифференциал указанного порядка: $y=\cos x\cdot \ch x$; найти $d^{6}y$.

Найти дифференциал указанного порядка, если $u$ — функция от $x$, дифференцируемая достаточное число раз: $y=u^{2}$; найти $d^{10}y$.

Найти дифференциал указанного порядка, если $u$ — функция от $x$, дифференцируемая достаточное число раз: $y=e^{u}$; найти $d^{4}y$.

Найти дифференциал указанного порядка, если $u$ — функция от $x$, дифференцируемая достаточное число раз: $y=\ln u$; найти $d^{3}y$.

Найти $d^{2}y$, $d^{3}y$ и $d^{4}y$ от функции $y=f(x)$, считая $x$ функцией от некоторой независимой переменной.

Выразить производные $y''$ и $y'''$ от функции $y=f(x)$ через последовательные дифференциалы переменных $x$ и $y$, не предполагая $x$ независимой переменной.

Показать, что функция $y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x$, где $C_{1}$ и $C_{2}$ — произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению

Показать, что функция $y=C_{1}\ch x+C_{2}\sh x$, где $C_{1}$ и $C_{2}$ — произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению

Показать, что функция $y=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}$, где $C_{1}$ и $C_{2}$ — произвольные постоянные и $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ — постоянные, удовлетворяет уравнению

Показать, что функция

где $C_{1}$ и $C_{2}$ — произвольные постоянные и $n$ — постоянная, удовлетворяет уравнению

Показать, что функция

где $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$ и $C_{4}$ — произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению

Доказать, что если функция $f(x)$ имеет производную $n$-го порядка, то

Найти $P^{(n)}(x)$, если

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\dfrac {ax+b}{cx+d}$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\dfrac {1}{x(1-x)}$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\dfrac {1}{x^{2}-3x+2}$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\dfrac {1}{\sqrt{1-2x}}$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\dfrac {x}{\sqrt[3]{1+x}}$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\sin^{2}x$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\cos^{2}x$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\sin^{3}x$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\cos^{3}x$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\sin ax\sin bx$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\cos ax\cos bx$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\sin ax\cos bx$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\sin^{2}ax\cos bx$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\sin^{4}x+\cos^{4}x$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=x\cos ax$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=x^{2}\sin ax$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=(x^{2}+2x+2)e^{-x}$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=e^{x}/x$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=e^{x}\cos x$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=e^{x}\sin x$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=\ln \dfrac {a+bx}{a-bx}$.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=e^{ax}P(x)$, где $P(x)$ — многочлен.

Найти $y^{(n)}$, если: $y=x\sh x$.

Найти $d^{n}y$, если: $y=x^{n}e^{x}$.

Найти $d^{n}y$, если: $y=\dfrac {\ln x}{x}$.

Доказать равенства:

Найти $y^{(n)}$, если:

Преобразовав функцию $f(x)=\sin^{2p}x$, где $p$ — натуральное число, в тригонометрический многочлен $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{p}A_{k}\cos 2kx$, найти $f^{(n)}(x)$.

Найти $f^{(n)}(x)$, если:

Используя тождество

доказать, что

Найти $n$-ю производную от функции

Найти $f^{(n)}(0)$, если:

Найти $f^{(n)}(0)$, если:

Найти $f^{(n)}(0)$, если:

Найти $f^{(n)}(0)$, если:

Найти $f^{(n)}(a)$, если

где функция $\varphi (x)$ имеет непрерывную производную $(n-1)$-го порядка в окрестности точки $a$.

Доказать, что функция

($n$ — натуральное число) в точке $x=0$ имеет производные до $n$-го порядка включительно и не имеет производной $(n+1)$-го порядка.

Доказать, что функция

бесконечно дифференцируема при $x=0$. Построить график этой функции.

Доказать, что многочлены Чебышева

удовлетворяют уравнению

Доказать, что многочлены Лежандра

удовлетворяют уравнению

Многочлены Чебышева — Лагерра определяются формулой

Найти явное выражение для многочлена $L_{m}(x)$. Доказать, что $L_{m}(x)$ удовлетворяет уравнению