Задачи на максимум и минимум функций

Доказать, что если функция $f(x)$ неотрицательна, то функция $F(x)=Cf^{2}(x)$ $(C>0)$ имеет в точности те же точки экстремума, что и функция $f(x)$.

Доказать, что если функция $\varphi (x)$ — монотонно возрастающая в строгом смысле при $-\infty <x<+\infty$, то функции $f(x)$ и $\varphi (f(x))$ имеют одни и те же точки экстремума.

Определить наибольшее значение произведения $m$-й и $n$-й степеней $(m>0,\ n>0)$ двух положительных чисел, сумма которых постоянна и равна $a$.

Найти наименьшее значение суммы $m$-й и $n$-й степеней $(m>0,\ n>0)$ двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно $a$.

В каких системах логарифмов существуют числа, равные своему логарифму?

Из всех прямоугольников данной площади $S$ определить тот, периметр которого наименьший.

Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.

При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости $V$ будет иметь наименьшую полную поверхность?

В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью.

В эллипс $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса, площадь которого наибольшая.

В треугольник с основанием $b$ и высотой $h$ вписать прямоугольник с наибольшим периметром. Исследовать возможность решения этой задачи.

Из круглого бревна диаметра $d$ вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно $b$ и высота $h$. При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если прочность ее пропорциональна $bh^{2}$?

В полушар радиуса $R$ вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объема.

В шар радиуса $R$ вписать цилиндр наибольшего объема.

В шар радиуса $R$ вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

Около данного шара описать конус наименьшего объема.

Найти наибольший объем конуса с данной образующей $l$.

В прямой круговой конус с углом $2\alpha$ в осевом сечении и радиусом основания $R$ вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

Найти кратчайшее расстояние точки $M(p,p)$ от параболы $y^{2}=2px$.

Найти кратчайшее и наибольшее расстояния точки $A(2,0)$ от окружности $x^{2}+y^{2}=1$.

Найти наибольшую хорду эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ $(0<b<a)$, проходящую через вершину $B(0,-b)$.

Через точку $M(x,y)$ эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ провести касательную, образующую с осями координат треугольник, площадь которого наименьшая.

Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его равен $V$.

Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне $\varphi$ боков «мокрый периметр» сечения будет наименьшим, если площадь «живого сечения» воды в канале равна $S$, а уровень воды равен $h$?

Извилистостью замкнутого контура, ограничивающего площадь $S$, называется отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же площади $S$.

Какова форма равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$), обладающей наименьшей извилистостью, если основание $AD=2a$ и острый угол $BAD=\alpha$?

Какой сектор следует вырезать из круга радиуса $R$, чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости.

Завод $A$ отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город $B$, считая по кратчайшему расстоянию, на $a$ км. Под каким углом $\varphi$ к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из $A$ в $B$ была наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному пути $p$ р., по железной дороге $q$ р. $(p>q)$ и город $B$ расположен на $b$ км севернее завода $A$?

Два корабля плывут с постоянными скоростями $u$ и $v$ по прямым линиям, составляющим угол $\theta$ между собой. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент расстояния их от точки пересечения путей были соответственно равны $a$ и $b$.

В точках $A$ и $B$ находятся источники света соответственно силой $S_{1}$ и $S_{2}$ свечей. На отрезке $AB=a$ найти наименее освещенную точку $M$.

Светящаяся точка находится на линии центров двух непересекающихся шаров радиусов $R$ и $r$ $(R>r)$ и расположена вне этих шаров. При каком положении точки сумма освещенных частей поверхностей шаров будет наибольшая?

На какой высоте над центром круглого стола радиуса $a$ следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей?

К реке шириной $a$ м построен под прямым углом канал шириной $b$ м. Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал?

Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоянной, равной $a$ р, и переменной, возрастающей пропорционально кубу скорости. При какой скорости $v$ плавание судна будет наиболее экономичным?

Груз весом $P$, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости, требуется сдвинуть с места приложенной силой. При каком наклоне этой силы к горизонту величина ее будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен $k$?

В чашку, имеющую форму полушара радиуса $a$, опущен стержень длины $l>2a$. Найти положение равновесия стержня.