Формула Тейлора

Многочлен

расположить по целым неотрицательным степеням двучлена $x+1$.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{4}$ включительно следующей функции: $f(x)=\dfrac {1+x+x^{2}}{1-x+x^{2}}$. Чему равно $f^{(4)}(0)$?

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{2}$ включительно следующей функции: $\dfrac {(1+x)^{100}}{(1-2x)^{40}(1+2x)^{60}}$.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{2}$ включительно следующей функции: $\sqrt[m]{a^{m}+x}$ $(a>0)$.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{3}$ включительно следующей функции: $\sqrt{1-2x+x^{3}}-\sqrt[3]{1-3x+x^{3}}$.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{5}$ включительно следующей функции: $e^{2x-x^{2}}$.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{4}$ включительно следующей функции: $\dfrac {x}{e^{x}-1}$.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{13}$ включительно следующей функции: $\sqrt[3]{\sin x^{3}}$.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{6}$ включительно следующей функции: $\ln \cos x$.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{3}$ включительно следующей функции: $\sin (\sin x)$.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{5}$ включительно следующей функции: $\tg x$.

Написать разложение по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^{6}$ включительно следующей функции: $\ln \dfrac {\sin x}{x}$.

Найти три члена разложения функции $f(x)=\sqrt{x}$ по целым неотрицательным степеням разности $x-1$.

Функцию $f(x)=x^{x}-1$ разложить по целым неотрицательным степеням бинома $x-1$ до члена с $(x-1)^{3}$.

Функцию $y=a\ch \dfrac {x}{a}$ $(a>0)$ в окрестности точки $x=0$ приближенно заменить параболой 2-го порядка.

Функцию $f(x)=\sqrt{1+x^{2}}-x$ $(x>0)$ разложить по целым неотрицательным степеням дроби $\dfrac {1}{x}$ до члена с $\dfrac {1}{x^{3}}$.

Найти разложение функции $f(h)=\ln (x+h)$ $(x>0)$ по целым неотрицательным степеням приращения $h$ до члена с $h^{n}$ ($n$ — натуральное число).

Пусть

$(0<\theta <1)$, причем $f^{(n+1)}(x)\neq 0$. Доказать, что $\lim \limits_{h\to 0}\theta =\dfrac {1}{n+1}$.

Пусть при $x\to 0$ имеем

Доказать, что $\lim \limits_{x\to 0}\left[f(x)\right]^{1/x}=e^{k}$.

Пусть $f(x)\in C^{(2)}[0,1]$ и $f(0)=f(1)=0$, причем $\left|f''(x)\right| \leq A$ при $x\in (0,1)$. Доказать, что $\left|f'(x)\right| \leq \dfrac {A}{2}$ при $0 \leq x \leq 1$.

Пусть $f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$ — дважды дифференцируемая функция и

Доказать неравенство $M_{1}^{2} \leq 2M_{0}M_{2}$.

Оценить абсолютную погрешность приближенных формул:

Для каких $x$ справедлива с точностью до $0{,}0001$ приближенная формула: $\cos x=1-\dfrac {x^{2}}{2}$?

Доказать формулу

$(n>2,\ a>0,\ x>0)$,

С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить:

Вычислить:

Используя разложения $e^{x}$, $\sin x$, $\cos x$, $(1+x)^{m}$, $\ln (1+x)$ по формуле Тейлора, найти следующий предел: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\cos x-e^{-x^{2}/2}}{x^{4}}$.

Используя разложения $e^{x}$, $\sin x$, $\cos x$, $(1+x)^{m}$, $\ln (1+x)$ по формуле Тейлора, найти следующий предел: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {e^{x}\sin x-x(1+x)}{x^{3}}$.

Используя разложения $e^{x}$, $\sin x$, $\cos x$, $(1+x)^{m}$, $\ln (1+x)$ по формуле Тейлора, найти следующий предел: $\lim \limits_{x\to +\infty }x^{3/2}\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}\right)$.

Используя разложения $e^{x}$, $\sin x$, $\cos x$, $(1+x)^{m}$, $\ln (1+x)$ по формуле Тейлора, найти следующий предел: $\lim \limits_{x\to +\infty }\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)$.

Используя разложения $e^{x}$, $\sin x$, $\cos x$, $(1+x)^{m}$, $\ln (1+x)$ по формуле Тейлора, найти следующий предел: $\lim \limits_{x\to +\infty }\left[\left(x^{3}-x^{2}+\dfrac {x}{2}\right)e^{1/x}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$.

Используя разложения $e^{x}$, $\sin x$, $\cos x$, $(1+x)^{m}$, $\ln (1+x)$ по формуле Тейлора, найти следующий предел: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {a^{x}+a^{-x}-2}{x^{2}}$ $(a>0)$.

Используя разложения $e^{x}$, $\sin x$, $\cos x$, $(1+x)^{m}$, $\ln (1+x)$ по формуле Тейлора, найти следующий предел: $\lim \limits_{x\to \infty }\left[x-x^{2}\ln \left(1+\dfrac {1}{x}\right)\right]$.

Используя разложения $e^{x}$, $\sin x$, $\cos x$, $(1+x)^{m}$, $\ln (1+x)$ по формуле Тейлора, найти следующий предел: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{\sin x}\right)$.

Используя разложения $e^{x}$, $\sin x$, $\cos x$, $(1+x)^{m}$, $\ln (1+x)$ по формуле Тейлора, найти следующий предел: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {1}{x}\left(\dfrac {1}{x}-\ctg x\right)$.

Найти предел: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\sin (\sin x)-x\sqrt[3]{1-x^{3}}}{x^{7}}$.

Найти предел: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {1-(\cos x)^{\sin x}}{x^{3}}$.

Найти предел: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\sh (\tg x)-x}{x^{3}}$.

Для бесконечно малой при $x\to 0$ величины $y$ определить главный член вида $Cx^{n}$ ($C$ — постоянная), если $y=\tg (\sin x)-\sin (\tg x)$.

Для бесконечно малой при $x\to 0$ величины $y$ определить главный член вида $Cx^{n}$ ($C$ — постоянная), если $y=(1+x)^{x}-1$.

Для бесконечно малой при $x\to 0$ величины $y$ определить главный член вида $Cx^{n}$ ($C$ — постоянная), если $y=1-\dfrac {(1+x)^{1/x}}{e}$.

При каком подборе коэффициентов $a$ и $b$ величина

будет бесконечно малой 5-го порядка относительно $x$?

Подобрать коэффициенты $A$ и $B$ так, чтобы при $x\to 0$ имело место асимптотическое равенство

При каких коэффициентах $A$, $B$, $C$ и $D$ справедлива при $x\to 0$ асимптотическая формула

Считая $\left|x\right|$ малой величиной, вывести простые приближенные формулы для следующих выражений:

Считая $x$ малым по абсолютной величине, вывести приближенную формулу вида $x=\alpha \sin x+\beta \tg x$ с точностью до члена с $x^{5}$.

Применить эту формулу для приближенного спрямления дуг малой угловой величины.

Оценить относительную погрешность следующего правила Чебышева: круговая дуга приближенно равна сумме боковых сторон равнобедренного треугольника, построенного на хорде этой дуги и имеющего высотой $\sqrt{4/3}$ ее стрелки.