Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта

Подобрать параметры $k$ и $b$ прямой $y=kx+b$ так, чтобы она имела с кривой $y=x^{3}-3x^{2}+2$ касание порядка выше первого.

При каком выборе коэффициентов $a$, $b$ и $c$ парабола

имеет в точке $x=x_{0}$ касание 2-го порядка с кривой $y=e^{x}$?

Какой порядок касания с осью $Ox$ имеют в точке $x=0$ кривые:

Доказать, что кривая $y=e^{-1/x^{2}}$ при $x\neq 0$ и $y=0$ при $x=0$ имеет в точке $x=0$ с осью $Ox$ касание бесконечно большого порядка.

Найти радиус и центр кривизны гиперболы $xy=1$ в точках:

Определить радиус кривизны следующей кривой: параболы $y^{2}=2px$.

Определить радиус кривизны следующей кривой: эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a \geq b>0)$.

Определить радиус кривизны следующей кривой: гиперболы $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$.

Определить радиус кривизны следующей кривой: астроиды $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$.

Определить радиус кривизны следующей кривой: эллипса $x=a\cos t$, $y=b\sin t$.

Определить радиус кривизны следующей кривой: циклоиды $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$.

Определить радиус кривизны следующей кривой: эвольвенты круга $x=a(\cos t+t\sin t)$, $y=a(\sin t-t\cos t)$.

Доказать, что радиус кривизны линии 2-го порядка $y^{2}=2px-qx^{2}$ пропорционален кубу отрезка нормали.

Написать формулу радиуса кривизны линии, заданной в полярных координатах.

Определить радиус кривизны следующей кривой, заданной в полярных координатах (параметры положительны): спирали Архимеда $r=a\varphi$.

Определить радиус кривизны следующей кривой, заданной в полярных координатах (параметры положительны): логарифмической спирали $r=ae^{m\varphi }$.

Определить радиус кривизны следующей кривой, заданной в полярных координатах (параметры положительны): кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$.

Определить радиус кривизны следующей кривой, заданной в полярных координатах (параметры положительны): лемнискаты $r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$.

На кривой $y=\ln x$ найти точку, кривизна в которой наибольшая.

Максимальная кривизна кубической параболы $y=\dfrac {kx^{3}}{6}$ $(0 \leq x<+\infty ,\ k>0)$ равна $\dfrac {1}{1000}$. Найти точку $x$, в которой достигается эта максимальная кривизна.

Составить уравнение эволюты следующей кривой: параболы $y^{2}=2px$.

Составить уравнение эволюты следующей кривой: эллипса $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$.

Составить уравнение эволюты следующей кривой: астроиды $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$.

Составить уравнение эволюты следующей кривой: трактрисы

Составить уравнение эволюты следующей кривой: логарифмической спирали $r=ae^{m\varphi }$.

Доказать, что эволюта циклоиды

есть также циклоида, отличающаяся от данной только положением.