Банк задач по математике

Задача 821

Определить приращение $\Delta x$ аргумента $x$ и соответствующее приращение $\Delta y$ функции $y=\lg x$ , если $x$ изменяется от $1$ до $1000$ .

?

Задача 822

Определить приращение $\Delta x$ аргумента $x$ и соответствующее приращение $\Delta y$ функции $y=1/x^{2}$ , если $x$ изменяется от $0{,}01$ до $0{,}001$ .

?

Задача 823

(а)(б)(в)

Переменная $x$ получает приращение $\Delta x$ . Определить приращение $\Delta y$ , если:

?

(а)

$y=ax+b$ ;

(б)

$y=ax^{2}+bx+c$ ;

(в)

$y=a^{x}$ .

Задача 824

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

$\Delta \left[f(x)+g(x)\right]=\Delta f(x)+\Delta g(x)$ ;

(б)

$\Delta \left[f(x)g(x)\right]=g(x+\Delta x)\Delta f(x)+f(x)\Delta g(x)$ .

Задача 825

(а)(б)(в)(г)

Через точки $A(2,4)$ и $A'(2+\Delta x, 4+\Delta y)$ кривой $y=x^{2}$ проведена секущая $AA'$ . Найти угловой коэффициент этой секущей, если:

?

(а)

$\Delta x=1$ ;

(б)

$\Delta x=0{,}1$ ;

(в)

$\Delta x=0{,}01$ ;

(г)

$\Delta x$ произвольно мало.

Чему равен угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке $A$ ?

Задача 826

(а)(б)(в)

Отрезок $1 \leq x \leq 1+h$ оси $Ox$ с помощью функции $y=x^{3}$ отображается на ось $Oy$ . Определить средний коэффициент растяжения и произвести численный расчет, если:

?

(а)

$h=0{,}1$ ;

(б)

$h=0{,}01$ ;

(в)

$h=0{,}001$ .

Чему равен коэффициент растяжения при этом отображении в точке $x=1$ ?

Задача 827

(а)(б)(в)

Закон движения точки по оси $Ox$ дается формулой

x=10t+5t^{2},

где $t$ — время в секундах и $x$ — расстояние в метрах. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени $20 \leq t \leq 20+\Delta t$ и произвести численный расчет, если:

?

(а)

$\Delta t=1$ ;

(б)

$\Delta t=0{,}1$ ;

(в)

$\Delta t=0{,}01$ .

Чему равна скорость движения в момент времени $t=20$ ?

Задача 828

Исходя из определения производной, непосредственно найти производные следующих функций:

?

(а)

$x^{2}$ ;

(б)

$x^{3}$ ;

(в)

$\dfrac {1}{x}$ ;

(г)

$\sqrt{x}$ ;

(д)

$\sqrt[3]{x}$ ;

(е)

$\tg x$ ;

(ж)

$\ctg x$ ;

(з)

$\arcsin x$ ;

(и)

$\arccos x$ ;

(к)

$\arctg x$ .

Задача 829

Найти $f'(1)$ , $f'(2)$ и $f'(3)$ , если $f(x)=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}$ .

?

Задача 830

Найти $f'(2)$ , если $f(x)=x^{2}\sin (x-2)$ .

?

Задача 831

Найти $f'(1)$ , если $f(x)=x+(x-1)\arcsin \sqrt{\dfrac {x}{x+1}}$ .

?

Задача 832

Найти $\lim \limits_{x \to a}\dfrac {f(x)-f(a)}{x-a}$ , если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $a$ .

?

Задача 833

Доказать, что если функция $f(x)$ дифференцируема и $n$ — натуральное число, то

\lim _{n \to \infty } n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]=f'(x). \tag {1}

Обратно, если для функции $f(x)$ существует предел (1), то можно ли утверждать, что эта функция имеет производную? Рассмотреть пример функции Дирихле (см. отд. I, задачу 734).

?

Задача 834

Пользуясь таблицей производных, найти производные следующей функции: $y=2+x-x^{2}$ . Чему равно $y'(0)$ ; $y'\left(\dfrac {1}{2}\right)$ ; $y'(1)$ ; $y'(-10)$ ?

?

Задача 835

(а)(б)(в)

Пользуясь таблицей производных, найти производные следующей функции: $y=\dfrac {x^{3}}{3}+\dfrac {x^{2}}{2}-2x$ . При каких значениях $x$ :

?

(а)

$y'(x)=0$ ;

(б)

$y'(x)=-2$ ;

(в)

$y'(x)=10$ ?

Задача 836

Пользуясь таблицей производных, найти производную следующей функции: $y=a^{5}+5a^{3}x^{2}-x^{5}$ .

?

Задача 837

Пользуясь таблицей производных, найти производную следующей функции: $y=\dfrac {ax+b}{a+b}$ .

?

Задача 838

Пользуясь таблицей производных, найти производную следующей функции: $y=(x-a)(x-b)$ .

?

Задача 839

Пользуясь таблицей производных, найти производную следующей функции: $y=(x+1)(x+2)^{2}(x+3)^{3}$ .

?

Задача 840

Пользуясь таблицей производных, найти производную следующей функции: $y=(x\sin \alpha +\cos \alpha )(x\cos \alpha -\sin \alpha )$ .

?

Задача 841

Пользуясь таблицей производных, найти производную следующей функции: $y=(1+nx^{m})(1+mx^{n})$ .

?

Задача 842

Пользуясь таблицей производных, найти производную следующей функции: $y=(1-x)(1-x^{2})^{2}(1-x^{3})^{3}$ .

?

Задача 842.1

Пользуясь таблицей производных, найти производную следующей функции: $y=(5+2x)^{10}(3-4x)^{20}$ .

?

Задача 843

Пользуясь таблицей производных, найти производную следующей функции: $y=\dfrac {1}{x}+\dfrac {2}{x^{2}}+\dfrac {3}{x^{3}}$ .

?

Задача 844

Доказать формулу $\left(\dfrac {ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac {\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}{(cx+d)^{2}}$ .

?

Задача 845

Найти производные функций: $y=\dfrac {2x}{1-x^{2}}$ .

?

Задача 846

Найти производные функций: $y=\dfrac {1+x-x^{2}}{1-x+x^{2}}$ .

?

Задача 847

Найти производные функций: $y=\dfrac {x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}}$ .

?

Задача 848

Найти производные функций: $y=\dfrac {(2-x^{2})(2-x^{3})}{(1-x)^{2}}$ .

?

Задача 849

Найти производные функций: $y=\dfrac {(1-x)^{p}}{(1+x)^{q}}$ .

?

Задача 850

Найти производные функций: $y=\dfrac {x^{p}(1-x)^{q}}{1+x}$ .

?

Задача 851

Найти производные функций: $y=x+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}$ .

?

Задача 852

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{\sqrt{x}}+\dfrac {1}{\sqrt[3]{x}}$ .

?

Задача 853

Найти производные функций: $y=\sqrt[3]{x^{2}}-\dfrac {2}{\sqrt{x}}$ .

?

Задача 854

Найти производные функций: $y=x\sqrt{1+x^{2}}$ .

?

Задача 855

Найти производные функций: $y=(1+x)\sqrt{2+x^{2}}\sqrt[3]{3+x^{3}}$ .

?

Задача 856

Найти производные функций: $y=\sqrt[m+n]{(1-x)^{m}(1+x)^{n}}$ .

?

Задача 857

Найти производные функций: $y=\dfrac {x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ .

?

Задача 858

Найти производные функций: $y=\sqrt[3]{\dfrac {1+x^{3}}{1-x^{3}}}$ .

?

Задача 859

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{\sqrt{1+x^{2}}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}$ .

?

Задача 860

Найти производные функций: $y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}$ .

?

Задача 861

Найти производные функций: $y=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}}$ .

?

Задача 862

Найти производные функций: $y=\cos 2x-2\sin x$ .

?

Задача 863

Найти производные функций: $y=(2-x^{2})\cos x+2x\sin x$ .

?

Задача 864

Найти производные функций: $y=\sin (\cos^{2}x)\cdot \cos (\sin^{2}x)$ .

?

Задача 865

Найти производные функций: $y=\sin^{n}x\cos nx$ .

?

Задача 866

Найти производные функций: $y=\sin \left[\sin (\sin x)\right]$ .

?

Задача 867

Найти производные функций: $y=\dfrac {\sin^{2}x}{\sin x^{2}}$ .

?

Задача 868

Найти производные функций: $y=\dfrac {\cos x}{2\sin^{2}x}$ .

?

Задача 869

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{\cos^{n}x}$ .

?

Задача 870

Найти производные функций: $y=\dfrac {\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}$ .

?

Задача 871

Найти производные функций: $y=\tg \dfrac {x}{2}-\ctg \dfrac {x}{2}$ .

?

Задача 872

Найти производные функций: $y=\tg x-\dfrac {1}{3}\tg^{3}x+\dfrac {1}{5}\tg^{5}x$ .

?

Задача 873

Найти производные функций: $y=4\sqrt[3]{\ctg^{2}x}+\sqrt[3]{\ctg^{8}x}$ .

?

Задача 874

Найти производные функций: $y=\sec^{2}\dfrac {x}{a}+\operatorname {cosec}^{2}\dfrac {x}{a}$ .

?

Задача 875

Найти производные функций: $y=\sin \left[\cos^{2}(\tg^{3}x)\right]$ .

?

Задача 876

Найти производные функций: $y=e^{-x^{2}}$ .

?

Задача 877

Найти производные функций: $y=2^{\tg 1/x}$ .

?

Задача 878

Найти производные функций: $y=e^{x}(x^{2}-2x+2)$ .

?

Задача 879

Найти производные функций: $y=\left[\dfrac {1-x^{2}}{2}\sin x-\dfrac {(1+x)^{2}}{2}\cos x\right]e^{-x}$ .

?

Задача 880

Найти производные функций: $y=e^{x}\left(1+\ctg \dfrac {x}{2}\right)$ .

?

Задача 881

Найти производные функций: $y=\dfrac {\ln 3\cdot \sin x+\cos x}{3^{x}}$ .

?

Задача 882

Найти производные функций: $y=e^{ax}\dfrac {a\sin bx-b\cos bx}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ .

?

Задача 883

Найти производные функций: $y=e^{x}+e^{e^{x}}+e^{e^{e^{x}}}$ .

?

Задача 884

Найти производные функций: $y=\left(\dfrac {a}{b}\right)^{x}\left(\dfrac {b}{x}\right)^{a}\left(\dfrac {x}{a}\right)^{b}$ $(a>0,\ b>0)$ .

?

Задача 885

Найти производные функций: $y=x^{a^{a}}+a^{x^{a}}+a^{a^{x}}$ $(a>0)$ .

?

Задача 886

Найти производные функций: $y=\lg^{3}x^{2}$ .

?

Задача 887

Найти производные функций: $y=\ln (\ln (\ln x))$ .

?

Задача 888

Найти производные функций: $y=\ln (\ln^{2}(\ln^{3}x))$ .

?

Задача 889

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{2}\ln (1+x)-\dfrac {1}{4}\ln (1+x^{2})-\dfrac {1}{2(1+x)}$ .

?

Задача 890

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{4}\ln \dfrac {x^{2}-1}{x^{2}+1}$ .

?

Задача 891

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{4(1+x^{4})}+\dfrac {1}{4}\ln \dfrac {x^{4}}{1+x^{4}}$ .

?

Задача 892

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{2\sqrt{6}}\ln \dfrac {x\sqrt{3}-\sqrt{2}}{x\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ .

?

Задача 893

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{1-k}\ln \dfrac {1+x}{1-x}+\dfrac {\sqrt{k}}{1-k}\ln \dfrac {1+x\sqrt{k}}{1-x\sqrt{k}}$ $(0<k<1)$ .

?

Задача 894

Найти производные функций: $y=\sqrt{x+1}-\ln (1+\sqrt{x+1})$ .

?

Задача 895

Найти производные функций: $y=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ .

?

Задача 896

Найти производные функций: $y=x\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\sqrt{1+x^{2}}$ .

?

Задача 897

Найти производные функций: $y=x\ln^{2}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-2\sqrt{1+x^{2}}\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+2x$ .

?

Задача 898

Найти производные функций: $y=\dfrac {x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\dfrac {a^{2}}{2}\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)$ .

?

Задача 899

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{2\sqrt{ab}}\ln \dfrac {\sqrt{a}+x\sqrt{b}}{\sqrt{a}-x\sqrt{b}}$ $(a>0,\ b>0)$ .

?

Задача 900

Найти производные функций: $y=\dfrac {2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{1-x^{2}}+3\ln \dfrac {1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}$ .

?

Задача 901

Найти производные функций: $y=\ln \tg \dfrac {x}{2}$ .

?

Задача 902

Найти производные функций: $y=\ln \tg \left(\dfrac {x}{2}+\dfrac {\pi }{4}\right)$ .

?

Задача 903

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{2}\ctg^{2}x+\ln \sin x$ .

?

Задача 904

Найти производные функций: $y=\ln \sqrt{\dfrac {1-\sin x}{1+\sin x}}$ .

?

Задача 905

Найти производные функций: $y=-\dfrac {\cos x}{2\sin^{2}x}+\ln \sqrt{\dfrac {1+\cos x}{\sin x}}$ .

?

Задача 906

Найти производные функций: $y=\ln \dfrac {b+a\cos x+\sqrt{b^{2}-a^{2}}\sin x}{a+b\cos x}$ $(0 \leq \left|a\right|<\left|b\right|)$ .

?

Задача 907

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{x}\left(\ln^{3}x+3\ln^{2}x+6\ln x+6\right)$ .

?

Задача 908

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{4x^{4}}\ln \dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{16x^{4}}$ .

?

Задача 909

Найти производные функций: $y=\dfrac {3}{2}\left(1-\sqrt[3]{1+x^{2}}\right)+3\ln \left(1+\sqrt[3]{1+x^{2}}\right)$ .

?

Задача 910

Найти производные функций: $y=\ln \left[\dfrac {1}{x}+\ln \left(\dfrac {1}{x}+\ln \dfrac {1}{x}\right)\right]$ .

?

Задача 911

Найти производные функций: $y=x\left[\sin (\ln x)-\cos (\ln x)\right]$ .

?

Задача 912

Найти производные функций: $y=\ln \tg \dfrac {x}{2}-\cos x\cdot \ln \tg x$ .

?

Задача 913

Найти производные функций: $y=\arcsin \dfrac {x}{2}$ .

?

Задача 914

Найти производные функций: $y=\arccos \dfrac {1-x}{\sqrt{2}}$ .

?

Задача 915

Найти производные функций: $y=\arctg \dfrac {x^{2}}{a}$ .

?

Задача 916

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{\sqrt{2}}\operatorname {arcctg}\dfrac {\sqrt{2}}{x}$ .

?

Задача 917

Найти производные функций: $y=\sqrt{x}-\arctg \sqrt{x}$ .

?

Задача 918

Найти производные функций: $y=x+\sqrt{1-x^{2}}\cdot \arccos x$ .

?

Задача 919

Найти производные функций: $y=x\arcsin \sqrt{\dfrac {x}{1+x}}+\arctg \sqrt{x}-\sqrt{x}$ .

?

Задача 920

Найти производные функций: $y=\arccos \dfrac {1}{x}$ .

?

Задача 921

Найти производные функций: $y=\arcsin (\sin x)$ .

?

Задача 922

Найти производные функций: $y=\arccos (\cos^{2}x)$ .

?

Задача 923

Найти производные функций: $y=\arcsin (\sin x-\cos x)$ .

?

Задача 924

Найти производные функций: $y=\arccos \sqrt{1-x^{2}}$ .

?

Задача 925

Найти производные функций: $y=\arctg \dfrac {1+x}{1-x}$ .

?

Задача 926

Найти производные функций: $y=\operatorname {arcctg}\dfrac {\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$ .

?

Задача 927

Найти производные функций: $y=\dfrac {2}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\arctg \left(\sqrt{\dfrac {a-b}{a+b}}\tg \dfrac {x}{2}\right)$ $(a>b\geq 0)$ .

?

Задача 928

Найти производные функций: $y=\arcsin \dfrac {1-x^{2}}{1+x^{2}}$ .

?

Задача 929

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{\arccos^{2}(x^{2})}$ .

?

Задача 930

Найти производные функций: $y=\arctg x+\dfrac {1}{3}\arctg (x^{3})$ .

?

Задача 931

Найти производные функций: $y=\ln (1+\sin^{2}x)-2\sin x\cdot \arctg (\sin x)$ .

?

Задача 932

Найти производные функций: $y=\ln \left(\arccos \dfrac {1}{\sqrt{x}}\right)$ .

?

Задача 933

Найти производные функций: $y=\ln \dfrac {x+a}{\sqrt{x^{2}+b^{2}}}+\dfrac {a}{b}\arctg \dfrac {x}{b}$ $(b\neq 0)$ .

?

Задача 934

Найти производные функций: $y=\dfrac {x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\dfrac {a^{2}}{2}\arcsin \dfrac {x}{a}$ $(a>0)$ .

?

Задача 935

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{6}\ln \dfrac {(x+1)^{2}}{x^{2}-x+1}+\dfrac {1}{\sqrt{3}}\arctg \dfrac {2x-1}{\sqrt{3}}$ .

?

Задача 936

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{4\sqrt{2}}\ln \dfrac {x^{2}+x\sqrt{2}+1}{x^{2}-x\sqrt{2}+1}-\dfrac {1}{2\sqrt{2}}\arctg \dfrac {x\sqrt{2}}{x^{2}-1}$ .

?

Задача 937

Найти производные функций: $y=x(\arcsin x)^{2}+2\sqrt{1-x^{2}}\arcsin x-2x$ .

?

Задача 938

Найти производные функций: $y=\dfrac {\arccos x}{x}+\dfrac {1}{2}\ln \dfrac {1-\sqrt{1-x^{2}}}{1+\sqrt{1-x^{2}}}$ .

?

Задача 939

Найти производные функций: $y=\arctg \sqrt{x^{2}-1}-\dfrac {\ln x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ .

?

Задача 940

Найти производные функций: $y=\dfrac {\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\dfrac {1}{2}\ln \dfrac {1-x}{1+x}$ .

?

Задача 941

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{12}\ln \dfrac {x^{4}-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}-\dfrac {1}{2\sqrt{3}}\arctg \dfrac {\sqrt{3}}{2x^{2}-1}$ .

?

Задача 942

Найти производные функций: $y=\dfrac {x^{6}}{1+x^{12}}-\operatorname {arcctg}x^{6}$ .

?

Задача 943

Найти производные функций: $y=\ln \dfrac {1-\sqrt[3]{x}}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^{2}}}}+\sqrt{3}\arctg \dfrac {1+2\sqrt[3]{x}}{\sqrt{3}}$ .

?

Задача 944

Найти производные функций: $y=\arctg \dfrac {x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}$ .

?

Задача 945

Найти производные функций: $y=\operatorname {arcctg}\dfrac {a-2x}{2\sqrt{ax-x^{2}}}$ $(a>0)$ .

?

Задача 946

Найти производные функций: $y=\dfrac {3-x}{2}\sqrt{1-2x-x^{2}}+2\arcsin \dfrac {1+x}{\sqrt{2}}$ .

?

Задача 947

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{4}\ln \dfrac {\sqrt[4]{1+x^{4}}+x}{\sqrt[4]{1+x^{4}}-x}-\dfrac {1}{2}\arctg \dfrac {\sqrt[4]{1+x^{4}}}{x}$ .

?

Задача 948

Найти производные функций: $y=\arctg (\tg^{2}x)$ .

?

Задача 949

Найти производные функций: $y=\sqrt{1-x^{2}}\cdot \ln \sqrt{\dfrac {1-x}{1+x}}+\dfrac {1}{2}\ln \dfrac {1-\sqrt{1-x^{2}}}{1+\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ .

?

Задача 950

Найти производные функций: $y=x\arctg x-\dfrac {1}{2}\ln (1+x^{2})-\dfrac {1}{2}(\arctg x)^{2}$ .

?

Задача 951

Найти производные функций: $y=\ln \left(e^{x}+\sqrt{1+e^{2x}}\right)$ .

?

Задача 952

Найти производные функций: $y=\arctg \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ .

?

Задача 953

Найти производные функций: $y=\arcsin \left(\dfrac {\sin a\sin x}{1-\cos a\cos x}\right)$ .

?

Задача 954

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{4\sqrt{3}}\ln \dfrac {\sqrt{x^{2}+2}-x\sqrt{3}}{\sqrt{x^{2}+2}+x\sqrt{3}}+\dfrac {1}{2}\arctg \dfrac {\sqrt{x^{2}+2}}{x}$ .

?

Задача 955

Найти производные функций: $y=\dfrac {1}{2\sqrt{2}}\arctg \dfrac {x\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^{4}}}-\dfrac {1}{4\sqrt{2}}\ln \dfrac {\sqrt{1+x^{4}}-x\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^{4}}+x\sqrt{2}}$ .

?

Задача 956

Найти производные функций: $y=\dfrac {x\sqrt{1-x^{2}}}{1+x^{2}}-3\operatorname {arcctg}\dfrac {x\sqrt{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .

?

Задача 957

Найти производные функций: $y=\arccos (\sin x^{2}-\cos x^{2})$ .

?

Задача 958

Найти производные функций: $y=\arcsin (\sin x^{2})+\arccos (\cos x^{2})$ .

?

Задача 959

Найти производные функций: $y=e^{m\arcsin x}\left[\cos (m\arcsin x)+\sin (m\arcsin x)\right]$ .

?

Задача 960

Найти производные функций: $y=\arctg e^{x}-\ln \sqrt{\dfrac {e^{2x}}{e^{2x}+1}}$ .

?

Задача 960.1

Найти производные функций: $y=\sqrt{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+x^{4}}}}$ .

?

Задача 960.2

Найти производные функций: $y=\operatorname {arcctg}\dfrac {1}{\sqrt{\ctg \dfrac {1}{x^{2}}}}$ .

?

Задача 960.3

Найти производные функций: $y=\ln^{2}\left(\sec 2\sqrt[3]{x}\right)$ .

?

Задача 961

Найти производные функций: $y=x+x^{x}+x^{x^{x}}$ $(x>0)$ .

?

Задача 962

Найти производные функций: $y=x^{x^{a}}+x^{a^{x}}+a^{x^{x}}$ $(a>0,\ x>0)$ .

?

Задача 963

Найти производные функций: $y=\sqrt[x]{x}$ $(x>0)$ .

?

Задача 964

Найти производные функций: $y=(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}$ .

?

Задача 965

Найти производные функций: $y=(\ln x)^{x}:x^{\ln x}$ .

?

Задача 965.1

Найти производные функций: $y=\left[\dfrac {\arcsin (\sin^{2}x)}{\arccos (\cos^{2}x)}\right]^{\arctg^{2}x}$ .

?

Задача 966

Найти производные функций: $y=\log_{x}e$ .

?

Задача 967

Найти производные функций: $y=\ln (\ch x)+\dfrac {1}{2\ch^{2}x}$ .

?

Задача 968

Найти производные функций: $y=\dfrac {\ch x}{\sh^{2}x}-\ln \left(\cth \dfrac {x}{2}\right)$ .

?

Задача 969

Найти производные функций: $y=\arctg (\tg x)$ .

?

Задача 970

Найти производные функций: $y=\arccos \left(\dfrac {1}{\ch x}\right)$ .

?

Задача 971

Найти производные функций: $y=\dfrac {b}{a}x+\dfrac {2\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\arctg \left(\sqrt{\dfrac {a-b}{a+b}}\th \dfrac {x}{2}\right)$ $(0 \leq \left|b\right|<a)$ .

?

Задача 972

Найти производную функции $y=\ln \left(\cos^{2}x+\sqrt{1+\cos^{4}x}\right)$ , вводя промежуточное переменное $u=\cos^{2}x$ .

?

Задача 973

Приемом, указанным в примере 972, найти производную функции: $y=(\arccos x)^{2}\left[\ln^{2}(\arccos x)-\ln (\arccos x)+\dfrac {1}{2}\right]$ .

?

Задача 974

Приемом, указанным в примере 972, найти производную функции: $y=\dfrac {1}{2}\arctg \left(\sqrt[4]{1+x^{4}}\right)+\dfrac {1}{4}\ln \dfrac {\sqrt[4]{1+x^{4}}+1}{\sqrt[4]{1+x^{4}}-1}$ .

?

Задача 975

Приемом, указанным в примере 972, найти производную функции: $y=\dfrac {e^{-x}\arcsin (e^{-x^{2}})}{\sqrt{1-e^{-2x^{2}}}}+\dfrac {1}{2}\ln (1-e^{-2x^{2}})$ .

?

Задача 976

Приемом, указанным в примере 972, найти производную функции: $y=\dfrac {a^{x}}{1+a^{2x}}-\dfrac {1-a^{2x}}{1+a^{2x}}\operatorname {arcctg}a^{-x}$ .

?

Задача 977

(а)(б)(в)

Найти производные и построить графики функций и их производных, если:

?

(а)

$y=\left|x\right|$ ;

(б)

$y=x\left|x\right|$ ;

(в)

$y=\ln \left|x\right|$ .

Задача 978

(а)(б)(в)(г)

Найти производные следующих функций:

?

(а)

$y=\left|(x-1)^{2}(x+1)^{3}\right|$ ;

(б)

$y=\left|\sin^{3}x\right|$ ;

(в)

$y=\arccos \dfrac {1}{\left|x\right|}$ ;

(г)

$y=\left[x\right]\sin^{2}\pi x$ .

Задача 979

Найти производные и построить графики функций и их производных: $y=\begin{cases} 1-x, & \text{при } -\infty <x<1; \\ (1-x)(2-x), & \text{при } 1 \leq x \leq 2; \\ -(2-x), & \text{при } 2<x<+\infty . \end{cases}$

?

Задача 980

Найти производные и построить графики функций и их производных: $y=\begin{cases} (x-a)^{2}(x-b)^{2}, & \text{при } a \leq x \leq b; \\ 0, & \text{вне отрезка } \left[a, b\right]. \end{cases}$

?

Задача 981

Найти производные и построить графики функций и их производных: $y=\begin{cases} x, & \text{при } x<0; \\ \ln (1+x), & \text{при } x \geq 0. \end{cases}$

?

Задача 982

Найти производные и построить графики функций и их производных: $y=\begin{cases} \arctg x, & \text{при } \left|x\right| \leq 1; \\ \dfrac {\pi }{4}\operatorname {sign} x+\dfrac {x-1}{2}, & \text{при } \left|x\right|>1. \end{cases}$

?

Задача 983

Найти производные и построить графики функций и их производных: $y=\begin{cases} x^{2}e^{-x^{2}}, & \text{при } \left|x\right| \leq 1; \\ \dfrac {1}{e}, & \text{при } \left|x\right|>1. \end{cases}$

?

Задача 984

(а)(б)(в)(г)

Производная от логарифма данной функции $y=f(x)$ называется логарифмической производной этой функции:

\frac{y'}{y}=\frac{d}{dx}\ln \left|f(x)\right|\equiv \frac{f'(x)}{f(x)}.

Найти логарифмическую производную от функции $y$ , если:

?

(а)

$y=x\sqrt{\dfrac {1-x}{1+x}}$ ;

(б)

$y=\dfrac {x^{2}}{1-x}\sqrt[3]{\dfrac {3-x}{(3+x)^{2}}}$ ;

(в)

$y=(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}\ldots (x-a_{n})^{\alpha_{n}}$ ;

(г)

$y=\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{n}$ .

Задача 985

(а)(б)(в)(г)

Пусть $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ — дифференцируемые функции от $x$ . Найти производную от функции $y$ , если:

?

(а)

$y=\sqrt{\varphi^{2}(x)+\psi^{2}(x)}$ ;

(б)

$y=\arctg \dfrac {\varphi (x)}{\psi (x)}$ ;

(в)

$y=\sqrt[\varphi (x)]{\psi (x)}$ $(\varphi (x)\neq 0;\ \psi (x)>0)$ ;

(г)

$y=\log_{\varphi (x)}\psi (x)$ $(\varphi (x)>0;\ \psi (x)>0)$ .

Задача 986

(а)(б)(в)(г)

Найти $y'$ , если:

?

(а)

(б)

$y=f(\sin^{2}x)+f(\cos^{2}x)$ ;

(в)

$y=f(e^{x})\cdot e^{f(x)}$ ;

(г)

$y=f\left\{ f\left[f(x)\right]\right\}$ ,

где $f(u)$ — дифференцируемая функция.

Задача 986.1

Найти $f'(0)$ , если $f(x)=x(x-1)(x-2)\ldots (x-1000)$ .

?

Задача 987

Доказать следующее правило дифференцирования определителя $n$ -го порядка:

\begin{vmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x) & \ldots & f_{1n}(x) \\ \cdot & \cdot & \ldots & \cdot \\ f_{k1}(x) & f_{k2}(x) & \ldots & f_{kn}(x) \\ \cdot & \cdot & \ldots & \cdot \\ f_{n1}(x) & f_{n2}(x) & \ldots & f_{nn}(x) \end{vmatrix}' = \sum _{k=1}^{n} \begin{vmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x) & \ldots & f_{1n}(x) \\ \cdot & \cdot & \ldots & \cdot \\ f'_{k1}(x) & f'_{k2}(x) & \ldots & f'_{kn}(x) \\ \cdot & \cdot & \ldots & \cdot \\ f_{n1}(x) & f_{n2}(x) & \ldots & f_{nn}(x) \end{vmatrix}.

?

Задача 988

Найти $F'(x)$ , если $F(x)=\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 2 \\ -3 & x & 3 \\ -2 & -3 & x+1 \end{vmatrix}$ .

?

Задача 989

Найти $F'(x)$ , если $F(x)=\begin{vmatrix} x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix}$ .

?

Задача 990

Дан график функции. Приближенно построить график ее производной.

?

Задача 991

Показать, что функция $f(x)=\begin{cases} x^{2}\sin \dfrac {1}{x}, & \text{при } x\neq 0; \\ 0, & \text{при } x=0 \end{cases}$ имеет разрывную производную.

?

Задача 992

(а)(б)(в)

При каком условии функция $f(x)=x^{n}\sin \dfrac {1}{x}$ $(x\neq 0)$ и $f(0)=0$ :

?

(а)

непрерывна при $x=0$ ;

(б)

дифференцируема при $x=0$ ;

(в)

имеет непрерывную производную при $x=0$ ?

Задача 993

(а)(б)

При каком условии функция $f(x)=\left|x\right|^{n}\sin \dfrac {1}{\left|x\right|^{m}}$ $(x\neq 0)$ и $f(0)=0$ $(m>0)$ имеет:

?

(а)

ограниченную производную в окрестности начала координат;

(б)

неограниченную производную в этой окрестности?

Задача 994

Найти $f'(a)$ , если $f(x)=(x-a)\varphi (x)$ , где функция $\varphi (x)$ непрерывна при $x=a$ .

?

Задача 995

Показать, что функция $f(x)=\left|x-a\right|\varphi (x)$ , где $\varphi (x)$ — непрерывная функция и $\varphi (a)\neq 0$ , не имеет производной в точке $a$ . Чему равны односторонние производные $f'_{-}(a)$ и $f'_{+}(a)$ ?

?

Задача 996

Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной в данных точках: $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ .

?

Задача 997

Показать, что функция $f(x)=x^{2}\left|\cos \dfrac {\pi }{x}\right|$ $(x\neq 0)$ и $f(0)=0$ имеет точки недифференцируемости в любой окрестности точки $x=0$ , но дифференцируема в этой точке. Построить эскиз графика этой функции.

?

Задача 998

(а)(б)

Показать, что функция $f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{если } x \text{ рационально}; \\ 0, & \text{если } x \text{ иррационально}, \end{cases}$ имеет производную лишь при $x=0$ .

?

(а)

(б)

Задача 999

Исследовать на дифференцируемость следующие функции:

?

(а)

$y=\left|(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}\right|$ ;

(б)

$y=\left|\cos x\right|$ ;

(в)

$y=\left|\pi^{2}-x^{2}\right|\sin^{2}x$ ;

(г)

$y=\arcsin (\cos x)$ ;

(д)

$y=\begin{cases} \dfrac {x-1}{4}(x+1)^{2}, & \text{при } \left|x\right| \leq 1; \\ \left|x\right|-1, & \text{при } \left|x\right|>1. \end{cases}$

Задача 1000

Для функции $f(x)$ определить левую производную $f'_{-}(x)$ и правую производную $f'_{+}(x)$ , если $f(x)=\left|x\right|$ .

?

Задача 1001

Для функции $f(x)$ определить левую производную $f'_{-}(x)$ и правую производную $f'_{+}(x)$ , если $f(x)=\left[x\right]\sin \pi x$ .

?

Задача 1002

Для функции $f(x)$ определить левую производную $f'_{-}(x)$ и правую производную $f'_{+}(x)$ , если $f(x)=x\left|\cos \dfrac {\pi }{x}\right|$ $(x\neq 0)$ , $f(0)=0$ .

?

Задача 1003

Для функции $f(x)$ определить левую производную $f'_{-}(x)$ и правую производную $f'_{+}(x)$ , если $f(x)=\sqrt{\sin x^{2}}$ .

?

Задача 1004

Для функции $f(x)$ определить левую производную $f'_{-}(x)$ и правую производную $f'_{+}(x)$ , если $f(x)=\dfrac {x}{1+e^{1/x}}$ $(x\neq 0)$ , $f(0)=0$ .

?

Задача 1005

Для функции $f(x)$ определить левую производную $f'_{-}(x)$ и правую производную $f'_{+}(x)$ , если $f(x)=\sqrt{1-e^{-x^{2}}}$ .

?

Задача 1006

Для функции $f(x)$ определить левую производную $f'_{-}(x)$ и правую производную $f'_{+}(x)$ , если $f(x)=\left|\ln \left|x\right|\right|$ $(x\neq 0)$ .

?

Задача 1007

Для функции $f(x)$ определить левую производную $f'_{-}(x)$ и правую производную $f'_{+}(x)$ , если $f(x)=\arcsin \dfrac {2x}{1+x^{2}}$ .

?

Задача 1008

Для функции $f(x)$ определить левую производную $f'_{-}(x)$ и правую производную $f'_{+}(x)$ , если $f(x)=(x-2)\arctg \dfrac {1}{x-2}$ $(x\neq 2)$ , $f(2)=0$ .

?

Задача 1009

Показать, что функция $f(x)=x\sin \dfrac {1}{x}$ при $x\neq 0$ и $f(0)=0$ непрерывна при $x=0$ , но не имеет в этой точке ни левой, ни правой производной.

?

Задача 1009.1

(а)(б)(в)

Пусть $x_{0}$ — точка разрыва 1-го рода функции $f(x)$ . Выражения

f'_{-}(x_{0})=\lim _{h\to -0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-0)}{h}

и

f'_{+}(x_{0})=\lim _{h\to +0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}+0)}{h}

называются обобщенными односторонними (соответственно левой и правой) производными функции $f(x)$ в точке $x_{0}$ . Найти $f'_{-}(x_{0})$ и $f'_{+}(x_{0})$ в точках разрыва $x_{0}$ функции $f(x)$ , если:

?

(а)

$f(x)=\dfrac {\sqrt{x^{2}+x^{3}}}{x}$ ;

(б)

$f(x)=\arctg \dfrac {1+x}{1-x}$ ;

(в)

$f(x)=\dfrac {1}{1+e^{1/x}}$ .

Задача 1010

Пусть $f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{если } x \leq x_{0}; \\ ax+b, & \text{если } x>x_{0}. \end{cases}$ Как следует подобрать коэффициенты $a$ и $b$ , чтобы функция $f(x)$ была непрерывной и дифференцируемой в точке $x=x_{0}$ ?

?

Задача 1011

Пусть $F(x)=\begin{cases} f(x), & \text{если } x \leq x_{0}; \\ ax+b, & \text{если } x>x_{0}, \end{cases}$ где функция $f(x)$ дифференцируема слева при $x=x_{0}$ . При каком выборе коэффициентов $a$ и $b$ функция $F(x)$ будет непрерывной и дифференцируемой в точке $x_{0}$ ?

?

Задача 1012

На сегменте $a \leq x \leq b$ построить сопряжение двух полупрямых

y=k_{1}(x-a) \quad (-\infty <x<a), \qquad y=k_{2}(x-b) \quad (b<x<+\infty )

с помощью кубической параболы

y=A(x-a)(x-b)(x-c),

где параметры $A$ и $c$ подлежат определению.

?

Задача 1013

Часть кривой $y=\dfrac {m^{2}}{\left|x\right|}$ $(\left|x\right|>c)$ дополнить параболой

y=a+bx^{2} \quad (\left|x\right| \leq c)

(где $a$ и $b$ — неизвестные параметры) так, чтобы получилась гладкая кривая.

?

Задача 1014

(а)(б)

Можно ли утверждать, что сумма $F(x)=f(x)+g(x)$ не имеет производной в точке $x=x_{0}$ , если:

?

(а)

функция $f(x)$ имеет производную в точке $x_{0}$ , а функция $g(x)$ не имеет производной в этой точке;

(б)

обе функции $f(x)$ и $g(x)$ не имеют производной в точке $x_{0}$ ?

Задача 1015

(а)(б)

Можно ли утверждать, что произведение $F(x)=f(x)g(x)$ не имеет производной в точке $x=x_{0}$ , если:

?

(а)

функция $f(x)$ имеет производную в точке $x_{0}$ , а функция $g(x)$ не имеет производной в этой точке;

(б)

обе функции $f(x)$ и $g(x)$ не имеют производной в точке $x_{0}$ ?

Полагая $x_{0}=0$ , рассмотреть примеры: [(1)] $f(x)=x$ , $g(x)=\left|x\right|$ ;

[(2)] $f(x)=\left|x\right|$ , $g(x)=\left|x\right|$ .

Задача 1016

(а)(б)(в)

Что можно сказать о дифференцируемости функции $F(x)=f(g(x))$ в данной точке $x=x_{0}$ , если:

?

(а)

функция $f(x)$ имеет производную в точке $x=g(x_{0})$ , а функция $g(x)$ не имеет производной в точке $x=x_{0}$ ;

(б)

функция $f(x)$ не имеет производной в точке $x=g(x_{0})$ , а функция $g(x)$ имеет производную в точке $x=x_{0}$ ;

(в)

функция $f(x)$ не имеет производной в точке $x=g(x_{0})$ и функция $g(x)$ не имеет производной в точке $x=x_{0}$ ?

Полагая $x_{0}=0$ , рассмотреть примеры: [(1)] $f(x)=x^{2}$ , $g(x)=\left|x\right|$ ;

[(2)] $f(x)=\left|x\right|$ , $g(x)=x^{2}$ ;

[(3)] $f(x)=2x+\left|x\right|$ , $g(x)=\dfrac {2}{3}x-\dfrac {1}{3}\left|x\right|$ .

Задача 1017

В каких точках график функции $y=x+\sqrt[3]{\sin x}$ имеет вертикальные касательные? Построить этот график.

?

Задача 1018

(а)(б)

Может ли функция $f(x)$ в точке ее разрыва иметь:

?

(а)

конечную производную;

(б)

бесконечную производную?

Рассмотреть пример: $f(x)=\operatorname {sign} x$ .

Задача 1019

(а)(б)

Если функция $f(x)$ дифференцируема в ограниченном интервале $(a,b)$ и $\lim \limits_{x\to a}f(x)=\infty$ , то обязательно ли:

?

(а)

$\lim \limits_{x\to a}f'(x)=\infty$ ;

(б)

$\lim \limits_{x\to a}\left|f'(x)\right|=+\infty$ ?

Рассмотреть пример: $f(x)=\dfrac {1}{x}+\cos \dfrac {1}{x}$ при $x\to 0$ .

Задача 1020

Если функция $f(x)$ дифференцируема в ограниченном интервале $(a,b)$ и $\lim \limits_{x\to a}f'(x)=\infty$ , то обязательно ли $\lim \limits_{x\to a}f(x)=\infty$ ? Рассмотреть пример: $f(x)=\sqrt[3]{x}$ при $x\to 0$ .

?

Задача 1021

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в интервале $(x_{0},+\infty )$ и существует $\lim \limits_{x\to +\infty }f(x)$ . Следует ли отсюда, что существует $\lim \limits_{x\to +\infty }f'(x)$ ? Рассмотреть пример: $f(x)=\dfrac {\sin (x^{2})}{x}$ .

?

Задача 1022

Пусть ограниченная функция $f(x)$ дифференцируема в интервале $(x_{0},+\infty )$ и существует $\lim \limits_{x\to +\infty }f'(x)$ ; следует ли отсюда, что существует $\lim \limits_{x\to +\infty }f(x)$ конечный или бесконечный? Рассмотреть пример: $f(x)=\cos (\ln x)$ .

?

Задача 1023

Можно ли почленно дифференцировать неравенство между функциями?

?

Задача 1024

Вывести формулы для сумм

P_{n}=1+2x+3x^{2}+\ldots +nx^{n-1}

и

Q_{n}=1^{2}+2^{2}x+3^{2}x^{2}+\ldots +n^{2}x^{n-1}.

?

Примечание.

?

Указание. Рассмотреть $(x+x^{2}+\ldots +x^{n})'$ .

Задача 1025

Вывести формулы для сумм

S_{n}=\sin x+\sin 2x+\ldots +\sin nx

и

T_{n}=\cos x+2\cos 2x+\ldots +n\cos nx.

?

Задача 1025.1

Вывести формулу для суммы $S_{n}=\ch x+2\ch 2x+\ldots +n\ch nx$ .

?

Примечание.

?

Указание. $S_{n}=(\sh x+\sh 2x+\ldots +\sh nx)'$ .

Задача 1026

Пользуясь тождеством

\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{4}\ldots \cos \frac{x}{2^{n}}=\frac{\sin x}{2^{n}\sin \dfrac {x}{2^{n}}},

вывести формулу для суммы

S_{n}=\frac{1}{2}\tg \frac{x}{2}+\frac{1}{4}\tg \frac{x}{4}+\ldots +\frac{1}{2^{n}}\tg \frac{x}{2^{n}}.

?

Задача 1027

Доказать, что производная четной дифференцируемой функции есть функция нечетная, а производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная. Дать геометрическую интерпретацию этого факта.

?

Задача 1028

Доказать, что производная дифференцируемой периодической функции есть функция снова периодическая с тем же периодом.

?

Задача 1029

С какой скоростью возрастает площадь круга в тот момент, когда радиус этого круга $R=10$ см, если радиус круга растет равномерно со скоростью $2$ см/с?

?

Задача 1030

С какой скоростью изменяются площадь и диагональ прямоугольника в тот момент, когда одна сторона его $x=20$ м, а другая сторона $y=15$ м, если первая сторона прямоугольника уменьшается со скоростью $1$ м/с, а вторая возрастает со скоростью $2$ м/с?

?

Задача 1031

Из одного и того же порта одновременно вышли пароход $A$ с направлением на север и пароход $B$ с направлением на восток. С какой скоростью возрастает расстояние между ними, если скорость парохода $A$ равна $30$ км/ч, а парохода $B$ равна $40$ км/ч?

?

Задача 1032

Пусть

f(x)=\begin{cases} x, & \text{если } 0 \leq x \leq 2; \\ 2x-2, & \text{если } 2<x<+\infty , \end{cases}

и $S(x)$ — площадь, ограниченная кривой $y=f(x)$ , осью $Ox$ и перпендикуляром к оси $Ox$ , проведенным в точке $x$ $(x \geq 0)$ . Составить аналитическое выражение функции $S(x)$ , найти производную $S'(x)$ и построить график функции $y=S'(x)$ .

?

Задача 1033

Функция $S(x)$ есть площадь, ограниченная дугой окружности $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ , осью $Ox$ и двумя перпендикулярами к оси $Ox$ , проведенными в точках $0$ и $x$ $(\left|x\right| \leq a)$ . Составить аналитическое выражение функции $S(x)$ , найти производную $S'(x)$ и построить график этой производной.

?

Производная явной функции