Направление вогнутости. Точки перегиба

Исследовать направление вогнутости кривой

в точках $A(-1,0)$, $B(1,2)$ и $C(0,0)$.

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=3x^{2}-x^{3}$.

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=\dfrac {a^{2}}{a^{2}+x^{2}}$ $(a>0)$.

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=x+x^{5/3}$.

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=\sqrt{1+x^{2}}$.

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=x+\sin x$.

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=e^{-x^{2}}$.

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=\ln (1+x^{2})$.

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=x\sin (\ln x)$ $(x>0)$.

Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графика следующей функции: $y=x^{x}$ $(x>0)$.

Показать, что кривая

имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой. Построить график этой функции.

При каком выборе параметра $h$ «кривая вероятности»

имеет точки перегиба $x=\pm \sigma$?

Исследовать направление вогнутости циклоиды

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в промежутке $a \leq x<+\infty$, причем: 1) $f(a)=A>0$; 2) $f'(a)<0$; 3) $f''(x) \leq 0$ при $x>a$. Доказать, что уравнение $f(x)=0$ имеет один и только один действительный корень в интервале $(a,+\infty )$.

Функция $f(x)$ называется выпуклой снизу (сверху) на интервале $(a,b)$, если для любых точек $x_{1}$ и $x_{2}$ из этого интервала и произвольных чисел $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ $(\lambda_{1}>0,\ \lambda_{2}>0,\ \lambda_{1}+\lambda_{2}=1)$ имеет место неравенство

(или соответственно противоположное неравенство

Доказать, что:

Показать, что функции

выпуклы снизу на интервале $(0,+\infty )$, а функции

выпуклы сверху на интервале $(0,+\infty )$.

Доказать неравенства и выяснить их геометрический смысл:

Пусть $f''(x)>0$ при $a \leq x \leq b$. Доказать, что

при любых $x_{1}, x_{2} \in [a,b]$.

Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду непрерывна и имеет односторонние левую и правую производные.

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в интервале $(a,b)$ и $f''(\xi )\neq 0$, где $a<\xi <b$. Доказать, что в интервале $(a,b)$ можно найти два значения $x_{1}$ и $x_{2}$ такие, что

Доказать, что если функция $f(x)$ дважды дифференцируема в бесконечном интервале $(x_{0},+\infty )$ и

то в интервале $(x_{0},+\infty )$ имеется по меньшей мере одна точка $\xi$ такая, что $f''(\xi )=0$.