Банк задач по математике

Задача 1055

(а)(б)(в)

Написать уравнения касательной и нормали к кривой $y=(x+1)\sqrt[3]{3-x}$ в точках:

?

(а)

$A(-1,0)$ ;

(б)

$B(2,3)$ ;

(в)

$C(3,0)$ .

Задача 1056

(а)(б)

В каких точках кривой $y=2+x-x^{2}$ касательная к ней:

?

(а)

параллельна оси $Ox$ ;

(б)

параллельна биссектрисе первого координатного угла?

Задача 1057

Доказать, что парабола

y=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \quad (a\neq 0,\ x_{1}<x_{2})

пересекает ось $Ox$ под углами $\alpha$ и $\beta$ $\left(0<\alpha <\dfrac {\pi }{2},\ 0<\beta <\dfrac {\pi }{2}\right)$ , равными между собой.

?

Задача 1058

На кривой $y=2\sin x$ $(-\pi \leq x \leq \pi )$ определить те участки ее, где «крутизна кривой» (т.е. $\left|y'\right|$ ) превышает $1$ .

?

Задача 1059

Функции $y=x$ и $y_{1}=x+0{,}01\sin 1000\pi x$ отличаются друг от друга не больше чем на $0{,}01$ . Что можно сказать о максимальном значении разности производных этих функций? Построить соответствующие графики.

?

Задача 1060

Под каким углом кривая $y=\ln x$ пересекает ось $Ox$ ?

?

Задача 1061

Под какими углами пересекаются кривые

y=x^{2} \quad \text{и} \quad x=y^{2}?

?

Задача 1062

Под какими углами пересекаются кривые

y=\sin x \quad \text{и} \quad y=\cos x?

?

Задача 1063

При каком выборе параметра $n$ кривая

y=\arctg nx \quad (n>0)

пересекает ось $Ox$ под углом, большим $89°$ ?

?

Задача 1063.1

(а)(б)

Показать, что кривая $y=\left|x\right|^{\alpha }$ :

?

(а)

при $0<\alpha <1$ касается оси $Oy$ ;

(б)

при $1<\alpha <+\infty$ касается оси $Ox$ .

Задача 1063.2

Показать, что для графика функции

y=\begin{cases} \left|x\right|^{\alpha }, & \text{если } \alpha \neq 0,\ x\neq 0, \\ 1, & \text{если } x=0, \end{cases}

предельное положение секущей, проходящей через точку $A(0,1)$ , есть ось $Oy$ .

?

Задача 1064

(а)(б)

Определить угол между левой и правой касательными к кривой:

?

(а)

$y=\sqrt{1-e^{-a^{2}x^{2}}}$ в точке $x=0$ ;

(б)

$y=\arcsin \dfrac {2x}{1+x^{2}}$ в точке $x=1$ .

Задача 1065

Показать, что касательная к логарифмической спирали $r=ae^{m\varphi }$ ( $a$ и $m$ — постоянные) образует постоянный угол с радиусом-вектором точки касания.

?

Задача 1066

Определив длину подкасательной к кривой $y=ax^{n}$ , дать способ построения касательной к этой кривой.

?

Задача 1067

(а)(б)

Доказать, что у параболы $y^{2}=2px$ :

?

(а)

подкасательная равна удвоенной абсциссе точки касания;

(б)

поднормаль постоянна.

Дать способ построения касательной к параболе.

Задача 1068

Доказать, что показательная кривая

y=a^{x} \quad (a>0)

имеет постоянную подкасательную. Дать способ построения касательной к показательной кривой.

?

Задача 1069

Определить длину нормали к цепной линии

y=a\ch \frac{x}{a}

в любой ее точке $M(x_{0},y_{0})$ .

?

Задача 1070

Доказать, что у астроиды

x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3} \quad (a>0)

длина отрезка касательной, заключенного между осями координат, есть величина постоянная.

?

Задача 1071

При каком соотношении между коэффициентами $a$ , $b$ и $c$ парабола $y=ax^{2}+bx+c$ касается оси $Ox$ ?

?

Задача 1072

При каком условии кубическая парабола

y=x^{3}+px+q

касается оси $Ox$ ?

?

Задача 1073

При каком значении параметра $a$ парабола $y=ax^{2}$ касается кривой $y=\ln x$ ?

?

Задача 1074

Доказать, что кривые

y=f(x) \quad (f(x)>0) \quad \text{и} \quad y=f(x)\sin ax,

где $f(x)$ — дифференцируемая функция, касаются друг друга в общих точках.

?

Задача 1075

Показать, что семейства гипербол $x^{2}-y^{2}=a$ и $xy=b$ образуют ортогональную сетку, т.е. кривые этих семейств пересекаются под прямыми углами.

?

Задача 1076

Доказать, что семейства парабол

y^{2}=4a(a-x) \quad (a>0) \quad \text{и} \quad y^{2}=4b(b+x) \quad (b>0)

образуют ортогональную сетку.

?

Задача 1077

(а)(б)

Написать уравнения касательной и нормали к кривой

x=2t-t^{2}, \qquad y=3t-t^{3}

в точках:

?

(а)

$t=0$ ;

(б)

$t=1$ .

Задача 1078

(а)(б)(в)

Написать уравнения касательной и нормали к кривой

x=\frac{2t+t^{2}}{1+t^{3}}, \qquad y=\frac{2t-t^{2}}{1+t^{3}}

в точках:

?

(а)

$t=0$ ;

(б)

$t=1$ ;

(в)

$t=\infty$ .

Задача 1079

Написать уравнение касательной к циклоиде

x=a(t-\sin t), \qquad y=a(1-\cos t)

в произвольной точке $t=t_{0}$ . Дать способ построения касательной к циклоиде.

?

Задача 1080

Доказать, что трактриса

x=a\left(\ln \tg \frac{t}{2}+\cos t\right), \qquad y=a\sin t \quad (a>0,\ 0<t<\pi )

имеет отрезок касательной постоянной длины.

?

Задача 1081

Написать уравнения касательной и нормали в заданной точке к следующей кривой: $\dfrac {x^{2}}{100}+\dfrac {y^{2}}{64}=1$ , $M(6;6{,}4)$ .

?

Задача 1082

Написать уравнения касательной и нормали в заданной точке к следующей кривой: $xy+\ln y=1$ , $M(1;1)$ .

?

Геометрический смысл производной