Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Исследовать на экстремум следующую функцию: $y=2+x-x^{2}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию: $y=(x-1)^{3}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию: $y=(x-1)^{4}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию: $y=x^{m}(1-x)^{n}$ ($m$ и $n$ — целые положительные числа).

Исследовать на экстремум следующую функцию: $y=\cos x+\ch x$.

Исследовать на экстремум следующую функцию: $y=(x+1)^{10}e^{-x}$.

Исследовать на экстремум следующую функцию: $y=\left(1+x+\dfrac {x^{2}}{2!}+\ldots +\dfrac {x^{n}}{n!}\right)e^{-x}$ ($n$ — натуральное число).

Исследовать на экстремум следующую функцию: $y=\left|x\right|$.

Исследовать на экстремум следующую функцию: $y=x^{1/3}(1-x)^{2/3}$.

Исследовать на экстремум в точке $x=x_{0}$ функцию

($n$ — натуральное число), где функция $\varphi (x)$ непрерывна при $x=x_{0}$ и $\varphi (x_{0})\neq 0$.

Пусть $f(x)=\dfrac {P(x)}{Q(x)}$, $f'(x)=\dfrac {P_{1}(x)}{Q^{2}(x)}$ и $x_{0}$ — стационарная точка функции $f(x)$, т.е. $P_{1}(x_{0})=0$, $Q(x_{0})\neq 0$.

Доказать, что $\operatorname {sign} f''(x_{0})=\operatorname {sign} P'_{1}(x_{0})$.

Можно ли утверждать, что если функция $f(x)$ в точке $x_{0}$ имеет максимум, то в некоторой достаточно малой окрестности этой точки слева от точки $x_{0}$ функция $f(x)$ возрастает, а справа от нее убывает? Рассмотреть пример:

Доказать, что функция

имеет в точке $x=0$ минимум, а функция

не имеет в точке $x=0$ экстремума, хотя

Построить графики этих функций.

Исследовать на экстремум функции:

Исследовать на экстремум в точке $x=0$ функцию

Построить график этой функции.

Найти экстремумы следующей функции: $y=x^{3}-6x^{2}+9x-4$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=2x^{3}-x^{4}$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=x(x-1)^{2}(x-2)^{3}$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=x+\dfrac {1}{x}$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=\dfrac {2x}{1+x^{2}}$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=\dfrac {x^{2}-3x+2}{x^{2}+2x+1}$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=\sqrt{2x-x^{2}}$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=x\sqrt[3]{x-1}$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=xe^{-x}$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=\sqrt{x}\ln x$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=\dfrac {\ln^{2}x}{x}$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=\cos x+\dfrac {1}{2}\cos 2x$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=\dfrac {10}{1+\sin^{2}x}$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=\arctg x-\dfrac {1}{2}\ln (1+x^{2})$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=e^{x}\sin x$.

Найти экстремумы следующей функции: $y=\left|x\right|e^{-\left|x-1\right|}$.

Найти наименьшее и наибольшее значения следующей функции: $f(x)=2^{x}$ на сегменте $[-1,5]$.

Найти наименьшее и наибольшее значения следующей функции: $f(x)=x^{2}-4x+6$ на сегменте $[-3,10]$.

Найти наименьшее и наибольшее значения следующей функции: $f(x)=\left|x^{2}-3x+2\right|$ на сегменте $[-10,10]$.

Найти наименьшее и наибольшее значения следующей функции: $f(x)=x+\dfrac {1}{x}$ на сегменте $[0{,}01,100]$.

Найти наименьшее и наибольшее значения следующей функции: $f(x)=\sqrt{5-4x}$ на сегменте $[-1,1]$.

Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) следующей функции: $f(x)=xe^{-0{,}01x}$ на интервале $(0,+\infty )$.

Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) следующей функции: $f(x)=\left(1+x+\dfrac {x^{2}}{2!}+\ldots +\dfrac {x^{n}}{n!}\right)e^{-x}$ на интервале $(0,+\infty )$.

Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) следующей функции: $f(x)=\dfrac {1+x^{2}}{1+x^{4}}$ на интервале $(0,+\infty )$.

Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) следующей функции: $f(x)=e^{-x^{2}}\cos x^{2}$ на интервале $(-\infty ,+\infty )$.

Определить нижнюю и верхнюю грани функции $f(\xi )=\dfrac {1+\xi }{3+\xi^{2}}$ на интервале $x<\xi <+\infty$.

Построить графики функций

Пусть

Найти $M_{0}$, $M_{1}$ и $M_{2}$, если $f(x)=e^{-x^{2}}$.

Определить наибольший член последовательности:

Доказать неравенства:

Доказать неравенство

при $-\infty <x<+\infty$.

Определить «отклонение от нуля» многочлена

на сегменте $[-2,1]$, т.е. найти

При каком выборе коэффициента $q$ многочлен

наименее отклоняется от нуля на сегменте $[-1,1]$, т.е.

Абсолютным отклонением двух функций $f(x)$ и $g(x)$ на сегменте $[a,b]$ называется число

Определить абсолютное отклонение функций $f(x)=x^{2}$ и $g(x)=x^{3}$ на сегменте $[0,1]$.

Функцию $f(x)=x^{2}$ на сегменте $[x_{1},x_{2}]$ приближенно заменить линейной функцией

так, чтобы абсолютное отклонение функций $f(x)$ и $g(x)$ (см. предыдущую задачу) было наименьшим, и определить это наименьшее абсолютное отклонение.

Определить минимум функции

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни: $x^{3}-6x^{2}+9x-10=0$.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни: $x^{3}-3x^{2}-9x+h=0$.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни: $3x^{4}-4x^{3}-6x^{2}+12x-20=0$.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни: $x^{5}-5x=a$.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни: $\ln x=kx$.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни: $e=ax^{2}$.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни: $\sin^{3}x\cdot \cos x=a$ при $0 \leq x \leq \pi$.

Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни: $\ch x=kx$.

При каком условии уравнение $x^{3}+px+q=0$ имеет: