Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Проверить справедливость теоремы Ролля для функции

Функция $f(x)=1-\sqrt[3]{x^{2}}$ обращается в нуль при $x_{1}=-1$ и $x_{2}=1$, но тем не менее $f'(x)\neq 0$ при $-1 \leq x \leq 1$. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

Пусть функция $f(x)$ имеет конечную производную $f'(x)$ в каждой точке конечного или бесконечного интервала $(a,b)$ и

Доказать, что $f'(c)=0$, где $c$ — некоторая точка интервала $(a,b)$.

Пусть: 1) функция $f(x)$ определена и имеет непрерывную производную $(n-1)$-го порядка $f^{(n-1)}(x)$ на сегменте $[x_{0},x_{n}]$; 2) $f(x)$ имеет производную $n$-го порядка $f^{(n)}(x)$ в интервале $(x_{0},x_{n})$ и 3) выполнены равенства

Доказать, что в интервале $(x_{0},x_{n})$ существует по меньшей мере одна точка $\xi$ такая, что $f^{(n)}(\xi )=0$.

Пусть: 1) функция $f(x)$ определена и имеет непрерывную производную $(p+q)$-го порядка $f^{(p+q)}(x)$ на сегменте $[a,b]$; 2) $f(x)$ имеет производную $(p+q+1)$-го порядка $f^{(p+q+1)}(x)$ в интервале $(a,b)$; 3) выполнены равенства

и

Доказать, что в таком случае $f^{(p+q+1)}(c)=0$, где $c$ — некоторая точка интервала $(a,b)$.

Доказать, что если все корни многочлена

с действительными коэффициентами $a_{k}$ $(k=0,1,\ldots ,n)$ вещественны, то его последовательные производные $P'_{n}(x)$, $P''_{n}(x)$, $\ldots$, $P_{n}^{(n-1)}(x)$ также имеют лишь вещественные корни.

Доказать, что у многочлена Лежандра

все корни вещественные и заключены в интервале $(-1,1)$.

Доказать, что у многочлена Чебышева — Лагерра

все корни положительные.

Доказать, что у многочлена Чебышева — Эрмита

все корни вещественные.

Найти на кривой $y=x^{3}$ точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки $A(-1,-1)$ и $B(2,8)$.

Верна ли формула конечных приращений для функции $f(x)=1/x$ на сегменте $[a,b]$, если $ab<0$?

Найти функцию $\theta =\theta (x,\Delta x)$ такую, что

если:

Пусть $f(x)\in C^{(1)}(-\infty ,+\infty )$ и для любых $x$ и $h$ справедливо тождество:

Доказать, что $f(x)=ax+b$, где $a$ и $b$ — постоянные.

Пусть $f(x)\in C^{(2)}(-\infty ,+\infty )$ и для любых $x$ и $h$ справедливо тождество

Доказать, что $f(x)=ax^{2}+bx+c$, где $a$, $b$ и $c$ — постоянные.

Доказать, что если $x \geq 0$, то

где

причем $\lim \limits_{x\to +0}\theta (x)=1/4$, $\lim \limits_{x\to +\infty }\theta (x)=1/2$.

Пусть

Определить промежуточное значение $c$ формулы конечных приращений для функции $f(x)$ на сегменте $[0,2]$.

Пусть $f(x)-f(0)=xf'(\xi (x))$, где $0<\xi (x)<x$. Доказать, что если

то функция $\xi =\xi (x)$ разрывна в любом сколь угодно малом интервале $(0,\varepsilon )$, где $\varepsilon >0$.

Пусть функция $f(x)$ имеет непрерывную производную $f'(x)$ в интервале $(a,b)$. Можно ли для всякой точки $\xi$ из $(a,b)$ указать две другие точки $x_{1}$ и $x_{2}$ из этого интервала такие, что

Рассмотреть пример: $f(x)=x^{3}$ $(-1 \leq x \leq 1)$, где $\xi =0$.

Доказать неравенства:

Объяснить, почему не верна формула Коши для функций

на сегменте $[-1,1]$.

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на сегменте $[x_{1},x_{2}]$, причем $x_{1}x_{2}>0$. Доказать, что

где $x_{1}<\xi <x_{2}$.

Доказать, что если функция $f(x)$ дифференцируема, но не ограничена на конечном интервале $(a,b)$, то ее производная $f'(x)$ также не ограничена на интервале $(a,b)$. Обратная теорема не верна (построить пример).

Доказать, что если функция $f(x)$ имеет в конечном или бесконечном интервале $(a,b)$ ограниченную производную $f'(x)$, то $f(x)$ равномерно непрерывна на $(a,b)$.

Доказать, что если функция $f(x)$ дифференцируема в бесконечном интервале $(x_{0},+\infty )$ и $\lim \limits_{x\to +\infty }f'(x)=0$, то $\lim \limits_{x\to +\infty }\dfrac {f(x)}{x}=0$, т.е. $f(x)=o(x)$ при $x\to +\infty$.

Доказать, что если функция $f(x)$ дифференцируема в бесконечном интервале $(x_{0},+\infty )$ и $f(x)=o(x)$ при $x\to +\infty$, то $\lim \limits_{x\to +\infty }\left|f'(x)\right|=0$.

Пусть:

Доказать, что если $f'(x)=0$ при $a<x<b$, то $f(x)=\operatorname {const}$ при $a<x<b$.

Доказать, что единственная функция $f(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$, имеющая постоянную производную

есть линейная:

Что можно сказать о функции $f(x)$, если $f^{(n)}(x)=0$?

Пусть $f(x)\in C^{(\infty )}(-\infty ,+\infty )$ и для каждого $x$ существует натуральное число $n_{x}$ $(n_{x} \leq n)$ такое, что

Доказать, что функция $f(x)$ есть полином.

Доказать, что единственная функция $y=y(x)$ $(-\infty <x<+\infty )$, удовлетворяющая уравнению

есть показательная:

где $C$ — произвольная постоянная.

Проверить, что функции

имеют одинаковые производные в областях:

Доказать тождества:

Доказать, что если: 1) функция $f(x)$ непрерывна на сегменте $[a,b]$; 2) имеет конечную производную $f'(x)$ внутри него; 3) не является линейной, то существует по меньшей мере одна точка $c$ интервала $(a,b)$, удовлетворяющая условию

Дать геометрическую интерпретацию этого факта.

Если функция $f(x)$: 1) имеет вторую производную $f''(x)$ на сегменте $[a,b]$ и 2) $f'(a)=f'(b)=0$, то существует по меньшей мере одна точка $c$ интервала $(a,b)$, удовлетворяющая условию

Автомобиль начинает двигаться из некоторой точки, и за $t$ секунд проходит расстояние $s$ метров. Доказать, что в некоторый момент времени абсолютная величина ускорения автомобиля не меньше $\dfrac {4s}{t^{2}}$ $\dfrac {\text{м}}{\text{с}^{2}}$.