Раскрытие неопределенностей

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\sin ax}{\sin bx}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\ch x-\cos x}{x^{2}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\tg x-x}{x-\sin x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {3\tg 4x-12\tg x}{3\sin 4x-12\sin x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to \pi /2}\dfrac {\tg 3x}{\tg x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {x\ctg x-1}{x^{2}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to \pi /4}\dfrac {\sqrt[3]{\tg x}-1}{2\sin^{3}x-1}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {x(e^{x}+1)-2(e^{x}-1)}{x^{3}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {1-\cos x^{2}}{x^{2}\sin x^{2}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\arcsin 2x-2\arcsin x}{x^{3}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {1}{x\sqrt{x}}\left(\sqrt{a}\arctg \sqrt{\dfrac {x}{a}}-\sqrt{b}\arctg \sqrt{\dfrac {x}{b}}\right)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {a^{x}-a^{\sin x}}{x^{3}}$ $(a>0)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 1}\left(\dfrac {x^{x}-x}{\ln x-x+1}\right)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\ln (\sin ax)}{\ln (\sin bx)}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\ln (\cos ax)}{\ln (\cos bx)}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {1}{x}\left(\dfrac {1}{\th x}-\dfrac {1}{\tg x}\right)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\operatorname {Arsh}(\sh x)-\operatorname {Arsh}(\sin x)}{\sh x-\sin x}$, где $\operatorname {Arsh}x=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\dfrac {\ln x}{x^{\varepsilon }}$ $(\varepsilon >0)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\dfrac {x^{n}}{e^{ax}}$ $(a>0,\ n>0)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {e^{-1/x^{2}}}{x^{100}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }x^{2}e^{-0{,}01x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 1-0}\ln x\cdot \ln (1-x)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +0}x^{\varepsilon }\ln x$ $(\varepsilon >0)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +0}x^{x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}x^{x^{x}-1}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}(x^{x^{x}}-1)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +0}x^{k/(1+\ln x)}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 1}x^{1/(1-x)}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 1}(2-x)^{\tg (\pi x/2)}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to \pi /4}(\tg x)^{\tg 2x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}(\ctg x)^{\sin x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +0}\left(\ln \dfrac {1}{x}\right)^{x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to \infty }\left(\tg \dfrac {\pi x}{2x+1}\right)^{1/x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to a}\left(\dfrac {\tg x}{\tg a}\right)^{\ctg (x-a)}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {a^{x}-x\ln a}{b^{x}-x\ln b}\right)^{1/x^{2}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {1}{x}-\dfrac {1}{e^{x}-1}\right)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 1}\left(\dfrac {1}{\ln x}-\dfrac {1}{x-1}\right)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\ctg x-\dfrac {1}{x}\right)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left[\dfrac {1}{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}-\dfrac {1}{\ln (1+x)}\right]$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to a}\dfrac {a^{x}-x^{a}}{x-a}$ $(a>0)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {(1+x)^{1/x}-e}{x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {(a+x)^{x}-a^{x}}{x^{2}}$ $(a>0)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\left(\dfrac {2}{\pi }\arctg x\right)^{x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }(\th x)^{x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\arcsin x}{x}\right)^{1/x^{2}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\sin x}{x}\right)^{1/x^{2}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\tg x}{x}\right)^{1/x^{2}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\arctg x}{x}\right)^{1/x^{2}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\operatorname {Arsh}x}{x}\right)^{1/x^{2}}$, где $\operatorname {Arsh}x=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left[\left(\dfrac {(1+x)^{1/x}}{e}\right)^{1/x}\right]$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {2}{\pi }\arccos x\right)^{1/x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {\cos x}{\ch x}\right)^{1/x^{2}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {\ln \ch x}{\sqrt[m]{\ch x}-\sqrt[n]{\ch x}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to 0}\left(\dfrac {1+e^{x}}{2}\right)^{\cth x}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\dfrac {x^{\ln x}}{(\ln x)^{x}}$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\left[\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}+x+1}\cdot \dfrac {\ln (e^{x}+x)}{x}\right]$.

Определить значение следующего выражения: $\lim \limits_{x\to +\infty }\left[(x+a)^{1+(1/x)}-x^{1+1/(x+a)}\right]$.

Найти $\lim \limits_{x\to 0}\dfrac {y}{x}$, если кривая $y=f(x)$ входит при $x\to 0$ в начало координат $(0,0)$ $\left(\lim \limits_{x\to 0}f(x)=f(0)=0\right)$ под углом $\alpha$.

Доказать, что $\lim \limits_{x\to +0}x^{f(x)}=1$, если непрерывная кривая $y=f(x)$ входит при $x\to +0$ в начало координат $\left(\lim \limits_{x\to +0}f(x)=0\right)$ и при $0<x<\varepsilon$ целиком остается внутри острого угла, образованного прямыми: $y=-kx$ и $y=kx$ $(k\neq \infty )$.

Доказать, что если для функции $f(x)$ существует вторая производная $f''(x)$, то

Исследовать на дифференцируемость в точке $x=0$ функцию:

Найти асимптоту кривой $y=\dfrac {x^{1+x}}{(1+x)^{x}}$ $(x>0)$.

Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующим примерам:

Найти предел отношения площади кругового сегмента, имеющего хорду $b$ и стрелку $h$, к площади равнобедренного треугольника, вписанного в этот сегмент, если дуга сегмента при неизменном радиусе $R$ стремится к нулю. Пользуясь полученным результатом, вывести приближенную формулу для площади сегмента: