Возрастание и убывание функции. Неравенства

Найти промежутки строгой монотонности (возрастания или убывания) следующей функции: $y=2+x-x^{2}$.

Найти промежутки строгой монотонности (возрастания или убывания) следующей функции: $y=3x-x^{3}$.

Найти промежутки строгой монотонности (возрастания или убывания) следующей функции: $y=\dfrac {2x}{1+x^{2}}$.

Найти промежутки строгой монотонности (возрастания или убывания) следующей функции: $y=\dfrac {\sqrt{x}}{x+100}$ $(x \geq 0)$.

Найти промежутки строгой монотонности (возрастания или убывания) следующей функции: $y=x+\sin x$.

Найти промежутки строгой монотонности (возрастания или убывания) следующей функции: $y=x+\left|\sin 2x\right|$.

Найти промежутки строгой монотонности (возрастания или убывания) следующей функции: $y=\cos \dfrac {\pi }{x}$.

Найти промежутки строгой монотонности (возрастания или убывания) следующей функции: $y=\dfrac {x^{2}}{2^{x}}$.

Найти промежутки строгой монотонности (возрастания или убывания) следующей функции: $y=x^{n}e^{-x}$ $(n>0,\ x \geq 0)$.

Найти промежутки строгой монотонности (возрастания или убывания) следующей функции: $y=x^{2}-\ln x^{2}$.

Исследовать на монотонность функцию

Доказать, что у правильного $n$-угольника, вписанного в окружность, при возрастании числа сторон $n$ периметр $p_{n}$ возрастает, а периметр $P_{n}$ правильного $n$-угольника, описанного около этой окружности, убывает. Используя это, доказать, что при $n\to \infty$ величины $p_{n}$ и $P_{n}$ имеют общий предел.

Доказать, что функция

возрастает на интервалах $(-\infty ,-1)$ и $(0,+\infty )$.

Доказать, что многочлен

монотонен (в строгом смысле!) на интервалах $(-\infty ,-x_{0})$ и $(x_{0},+\infty )$, где $x_{0}$ — достаточно большое положительное число.

Доказать, что дробно-рациональная функция

монотонна (в строгом смысле!) на интервалах $(-\infty ,-x_{0})$ и $(x_{0},+\infty )$, где $x_{0}$ — достаточно большое положительное число.

Обязательно ли производная монотонной функции также монотонна?

Доказать, что если $\varphi (x)$ — монотонно возрастающая дифференцируемая функция, и при

то при $x \geq x_{0}$ $\left|f(x)-f(x_{0})\right| \leq \varphi (x)-\varphi (x_{0})$. Дать геометрическую интерпретацию этого факта.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на промежутке $a \leq x<+\infty$, и при $x>a$ $f'(x)>k>0$, где $k$ — постоянная. Доказать, что если $f(a)<0$, то уравнение $f(x)=0$ имеет один и только один действительный корень в интервале $\left(a,a-\dfrac {f(a)}{k}\right)$.

Функция $f(x)$ называется возрастающей в точке $x_{0}$, если в некоторой окрестности $\left|x-x_{0}\right|<\delta$ знак приращения функции $\Delta f(x_{0})=f(x)-f(x_{0})$ совпадает со знаком приращения аргумента $\Delta x_{0}=x-x_{0}$.

Доказать, что если функция $f(x)$ $(a<x<b)$ возрастает в каждой точке некоторого конечного или бесконечного интервала $(a,b)$, то она является возрастающей на этом интервале.

Показать, что функция

возрастает в точке $x=0$, но не является возрастающей ни в каком интервале $(-\varepsilon ,\varepsilon )$, окружающем эту точку, где $\varepsilon >0$ произвольно мало. Построить эскиз графика функции.

Доказать теорему: если 1) функции $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ $n$-кратно дифференцируемы; 2) $\varphi^{(k)}(x_{0})=\psi^{(k)}(x_{0})$ $(k=0,1,\ldots ,n-1)$; 3) $\varphi^{(n)}(x)>\psi^{(n)}(x)$ при $x>x_{0}$, то имеет место неравенство

Доказать следующие неравенства:

Доказать неравенство

Доказать, что при $x>0$ имеет место неравенство

У арифметической и геометрической прогрессий число членов и крайние члены соответственно одинаковы и все члены прогрессий положительны. Доказать, что у арифметической прогрессии сумма членов больше, чем у геометрической.

Исходя из неравенства

где $x$, $a_{k}$, $b_{k}$ $(k=1,\ldots ,n)$ вещественны, доказать неравенство Коши

Доказать, что среднее арифметическое положительных чисел не больше среднего квадратичного этих же чисел, т.е.

Доказать, что среднее геометрическое положительных чисел не больше среднего арифметического этих же чисел, т.е.

Средней порядка $s$ для двух положительных чисел $a$ и $b$ называется функция, определяемая равенством

и

В частности, получаем: при $s=-1$ среднее гармоническое; при $s=0$ среднее геометрическое (доказать!); при $s=1$ среднее арифметическое; при $s=2$ среднее квадратичное.

Доказать, что:

Доказать неравенства: