Слабые топологии

Покажите, что wk — наименьшая топология на $\mathcal{X}$, относительно которой каждый $x^*$ из $\mathcal{X}^*$ непрерывен.

Покажите, что wk* — наименьшая топология на $\mathcal{X}^*$ такая, что для каждого $x$ из $\mathcal{X}$ отображение $x^* \mapsto \left\langle x, x^* \right\rangle$ непрерывно.

Докажите теорему 1.3.

Пусть $\mathcal{X}$ — комплексное ЛВП, и пусть $\mathcal{X}^*_{\mathbb {R}}$ обозначает совокупность всех непрерывных вещественных линейных функционалов на $\mathcal{X}$. Используйте элементы $\mathcal{X}^*_{\mathbb {R}}$ для определения полунорм на $\mathcal{X}$ и пусть $\sigma (\mathcal{X}, \mathcal{X}^*_{\mathbb {R}})$ — соответствующая топология. Покажите, что $\sigma (\mathcal{X}, \mathcal{X}^*) = \sigma (\mathcal{X}, \mathcal{X}^*_{\mathbb {R}})$.

Докажите оставшуюся часть предложения 1.7.

Если $A \subseteq \mathcal{X}$, покажите, что $A$ слабо ограничено тогда и только тогда, когда $A^\circ$ поглощающее в $\mathcal{X}^*$.

Пусть $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, и пусть $\left\{ x_n\right\}$ — последовательность в $\mathcal{X}$ такая, что $x_n \to x$ слабо. Покажите, что существует последовательность $\left\{ y_n\right\}$ такая, что $y_n \in \operatorname {co}\left\{ x_1, x_2, \dots , x_n\right\}$ и $\left\| y_n - x\right\| \to 0$.

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, а $\left\{ h_n\right\}$ — последовательность в $\mathcal{H}$ такая, что $h_n \to h$ слабо и $\left\| h_n\right\| \to \left\| h\right\|$, то $\left\| h_n - h\right\| \to 0$. (Аналогичный результат верен для $L^p$-пространств при $1 < p < \infty$. См. W.P. Novinger [1972].)

Если $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, покажите, что норма на $\mathcal{X}$ полунепрерывна снизу относительно слабой топологии, а норма на $\mathcal{X}^*$ полунепрерывна снизу относительно слабой-звёздной топологии.

Предположим, что $\mathcal{X}$ — бесконечномерное нормированное пространство. Если $S = \left\{ x \in \mathcal{X} : \left\| x\right\| = 1\right\}$, то слабое замыкание $S$ есть $\left\{ x : \left\| x\right\| \leq 1\right\}$.

В связи с утверждением 2.4 покажите, что если $\mathcal{Z} \leq \mathcal{X}$, $\dim \mathcal{Z} < \infty$, а $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, то $\mathcal{Z} + \mathcal{M}$ замкнуто.

Покажите, что если $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$ и $\mathcal{M}$ топологически дополняемо в $\mathcal{X}$, то $\mathcal{M}^\perp$ топологически дополняемо в $\mathcal{X}^*$ и что его дополнение слабо-звёздно и линейно гомеоморфно $\mathcal{X}^*/\mathcal{M}^\perp$.

Покажите, что функционал $f$, встречающийся в доказательстве теоремы Алаоглу, линеен.

Пусть $\mathcal{X}$ — ЛВП, а $V$ — открытая окрестность $0$. Покажите, что $V^\circ$ слабо-звёздно компактно в $\mathcal{X}^*$.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство, покажите, что существует компактное пространство $X$ такое, что $\mathcal{X}$ изометрически изоморфно замкнутому подпространству $C(X)$.

Покажите, что если $\mathcal{X}$ рефлексивно и $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, то $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ рефлексивно.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство, $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, и оба пространства $\mathcal{M}$ и $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ рефлексивны, обязано ли $\mathcal{X}$ быть рефлексивным?

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, покажите, что $L^1(X, \Omega , \mu )$ рефлексивно тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

Приведите подробности доказательств утверждений, сделанных в примере 4.5.

Проверьте утверждение, сделанное в примере 4.8.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, покажите, что $L^\infty (\mu )$ слабо-звёздно секвенциально полно, но рефлексивно тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

Пусть $X$ компактно, и предположим, что на $C(X)$ существует норма, задаваемая скалярным произведением, превращающим $C(X)$ в гильбертово пространство, такая, что для каждого $x$ из $X$ функционал $f \mapsto f(x)$ на $C(X)$ непрерывен относительно нормы гильбертова пространства. Покажите, что $X$ конечно.

Пусть $B = \operatorname {ball} M[0,1]$, и для $\mu , \nu$ из $M[0,1]$ определим

Покажите, что $d$ — метрика на $M[0,1]$, задающая слабую-звёздную топологию на $B$, но не на $M[0,1]$.

Пусть $X$ — компактное пространство, и пусть $\mathcal{U} = \left\{ (U,V) : U, V \text{ — открытые подмножества } X \text{ и } \operatorname {cl} U \subseteq V\right\}$. Для $u = (U,V)$ из $\mathcal{U}$ пусть $f_u : X \to [0,1]$ — непрерывная функция такая, что $f_u \equiv 1$ на $\operatorname {cl} U$ и $f_u \equiv 0$ на $X \setminus V$. Покажите:

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство и $\mathcal{X}^*$ сепарабельно, покажите, что

Если $B = \operatorname {ball} l^\infty$, покажите, что

задаёт метрику на $B$ и что эта метрика задаёт слабую-звёздную топологию на $B$.

Используя тип рассуждения, применённый в доказательстве принципа равномерной ограниченности, получите доказательство предложения 5.2, не использующее теорему Бэра о категориях.

Покажите, что предложение 5.2 неверно для $l^p$ при $1 < p < \infty$.

Если $x \in X$ и $\delta_x(f) = f(x)$ для всех $f$ из $C_b(X)$, покажите, что $\left\| \delta_x\right\| = 1$.

Докажите, что подмножество вполне регулярного пространства вполне регулярно.

Восполните недостающие детали доказательства теоремы 6.2 (компактификация Стоуна--Чеха): если $X$ вполне регулярно, то существует компактное пространство $\beta X$ такое, что

Если $X$ вполне регулярно, $\Omega$ компактно, а $f : X \to \Omega$ непрерывно, покажите, что существует непрерывное отображение $f^\beta : \beta X \to \Omega$ такое, что $f^\beta | X = f$.

Если $X$ вполне регулярно, покажите, что $X$ открыто в $\beta X$ тогда и только тогда, когда $X$ локально компактно.

Пусть $\mathbb {N}$ наделено дискретной топологией. Пусть $\left\{ r_n : n \in \mathbb {N} \right\}$ — перечисление рациональных чисел из $[0,1]$. Пусть $S =$ иррациональные числа из $[0,1]$, и для каждого $s$ из $S$ пусть $\left\{ r_n : n \in N_s \right\}$ — подпоследовательность $\left\{ r_n \right\}$ такая, что $s = \lim \left\{ r_n : n \in N_s \right\}$. Покажите:

Покажите, что если $X$ нормально, $\tau \in \beta X$, и существует последовательность $\left\{ x_n \right\}$ в $X$ такая, что $x_n \to \tau$ в $\beta X$, то $\tau \in X$. Если $X$ не нормально, остаётся ли результат верным?

Пусть $X$ — пространство всех порядковых чисел, меньших первого несчётного порядкового числа, и наделим $X$ топологией порядка. Покажите, что $\beta X =$ одноточечная компактификация $X$. (Соответствующие определения можно найти у Kelley [1955].)

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $1 < p < \infty$, то множество крайних точек $\ball L^p(\mu )$ есть $\left\{ f \in L^p(\mu ) : \left\| f\right\|_{p} = 1 \right\}$.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, множество крайних точек $\ball L^1(\mu )$ есть $\left\{ \alpha \chi_E : E \text{ — атом меры } \mu , \ \alpha \in \mathbb {F}, \text{ и } \left|\alpha \right| = \mu (E)^{-1} \right\}$.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, множество крайних точек $\ball L^\infty (\mu )$ есть $\left\{ f \in L^\infty (\mu ) : \left|f(x)\right| = 1 \text{ п.в. } [\mu ] \right\}$.

Если $X$ вполне регулярно, множество крайних точек $\ball C_b(X)$ есть $\left\{ f \in C_b(X) : \left|f(x)\right| = 1 \text{ для всех } x \right\}$. Так, $\ball C_{\mathbb {R}}[0,1]$ имеет ровно две крайние точки.

Пусть $X$ — вполне несвязное компактное пространство. (То есть $X$ компактно, и если $x \in X$, а $U$ — окрестность $x$, то существует подмножество $V$ пространства $X$, являющееся одновременно открытым и замкнутым и такое, что $x \in V \subseteq U$. Канторово множество — пример такого пространства.) Покажите, что $\ball C(X)$ является замыканием по норме выпуклой оболочки своих крайних точек.

Покажите, что $\ball l^1$ является замыканием по норме выпуклой оболочки своих крайних точек.

Покажите, что если $X$ локально компактно, но не компактно, то $\ball C_0(X)$ не имеет крайних точек.

Если $\mathcal{X}$ — ЛВП, а $K_1, \dots , K_n$ — компактные выпуклые подмножества $\mathcal{X}$, то $\overline{\co }(K_1 \cup \dots \cup K_n) = \co (K_1 \cup \dots \cup K_n)$, и эта выпуклая оболочка компактна.

Пусть $K$ выпукло, а $T : K \to \mathcal{Y}$ — аффинное отображение. Если $y$ — крайняя точка $T(K)$, а $x$ — крайняя точка $T^{-1}(y)$, то $x$ — крайняя точка $K$.

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, а либо $T$, либо $T^*$ является изометрией, покажите, что $T$ — крайняя точка замкнутого единичного шара $\mathcal{B}(\mathcal{H})$.

Предположим, что $\mathcal{A}$ — подалгебра $C(X)$, разделяющая точки $X$, и $1 \in \mathcal{A}$. Покажите, что если $x_1, \dots , x_n$ — различные точки $X$, а $\alpha_1, \dots , \alpha_n \in \mathbb {F}$, то существует $f$ из $\mathcal{A}$ такое, что $f(x_j) = \alpha_j$ для $1 \leq j \leq n$.

Приведите подробности доказательства следствия 8.3: если $X$ локально компактно, а $\mathcal{A}$ — замкнутая подалгебра $C_0(X)$ такая, что

Если $X$ компактно, покажите, что для каждого $x$ из $X$ $\delta_x$ является крайней точкой $P(X)$, а $\alpha \delta_x$, $\left|\alpha \right| = 1$, является крайней точкой $\ball M(X)$.

Пусть $X$ компактно, и пусть $\mathcal{A}$ — замкнутая подалгебра $C(X)$ такая, что $1 \in \mathcal{A}$, и $\mathcal{A}$ замкнута относительно комплексного сопряжения. Определим отношение эквивалентности $\sim$ на $X$, полагая $x \sim y$ тогда и только тогда, когда $f(x) = f(y)$ для всех $f$ из $\mathcal{A}$. Пусть $X / \sim$ — соответствующее фактор-пространство, а $\pi : X \to X / \sim$ — естественное отображение. Наделим $X / \sim$ фактор-топологией.

Пусть $X$ вполне регулярно, и топологизируем $C(X)$, как в примере IV.1.5. Если $\mathcal{A}$ — замкнутая подалгебра $C(X)$ такая, что $1 \in \mathcal{A}$, $\mathcal{A}$ разделяет точки $X$, и $\bar{f} \in \mathcal{A}$, когда $f \in \mathcal{A}$, то $\mathcal{A} = C(X)$.

Пусть $X, Y$ — компактные пространства; покажите, что если $f \in C(X \times Y)$ и $\varepsilon > 0$, то существуют функции $g_1, \dots , g_n$ из $C(X)$ и $h_1, \dots , h_n$ из $C(Y)$ такие, что $\left|f(x,y) - \sum_{k=1}^n g_k(x) h_k(y)\right| < \varepsilon$ для всех $(x,y)$ из $X \times Y$.

Пусть $\mathcal{A}$ — равномерно замкнутая подалгебра $C_b(\mathbb {R})$, порождённая $\sin x$ и $\cos x$. Покажите, что $\mathcal{A} = \left\{ f \in C_b(\mathbb {R}) : f(t) = f(t + 2\pi ) \text{ для всех } t \text{ из } \mathbb {R} \right\}$.

Если $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, $f \in C(K)$, и $\varepsilon > 0$, покажите, что существует многочлен $p(z, \bar{z})$ от $z$ и $\bar{z}$ такой, что $\left|f(z) - p(z,\bar{z})\right| < \varepsilon$ для всех $z$ из $K$.

Пусть $E = \left\{ x \in l^2(\mathbb {N}) : \left\| x\right\| \leq 1 \right\}$, и для $x$ из $E$ определим $f(x) = \left( (1 - \left\| x\right\|^2)^{1/2}, x(1), x(2), \dots \right)$. Покажите, что $f(E) \subseteq E$, $f$ непрерывно, и $f$ не имеет неподвижных точек.

Использовалась ли локальная выпуклость в доказательстве теоремы Маркова--Какутани о неподвижной точке 10.1 (если $K$ — непустое компактное выпуклое подмножество ЛВП $\mathscr {X}$, а $\mathscr {F}$ — семейство непрерывных аффинных отображений $K$ в себя, являющееся абелевым, то существует $x_0$ из $K$ такое, что $T(x_0) = x_0$ для всех $T$ из $\mathscr {F}$)?

Покажите, что если $X$ локально компактно и $X = \bigcup_{n=1}^{\infty } F_n$, где каждое $F_n$ замкнуто в $X$, то существует такое целое число $n$, что $\interior F_n \neq \emptyset$.

Пусть $G$ — группа и топологическое пространство. Покажите, что $G$ является топологической группой тогда и только тогда, когда отображение $G \times G \to G$, заданное формулой $(x,y) \mapsto x^{-1} y$, непрерывно.

Проверьте утверждения из примеров 11.2:

Покажите, что теоремы 11.4 и 11.5 эквивалентны, где:

• Теорема 11.4: Если $G$ — компактная топологическая группа, то существует единственная положительная регулярная борелевская мера $m$ на $G$ такая, что (a) $m(G) = 1$; (b) если $U$ — непустое открытое подмножество $G$, то $m(U) > 0$; (c) если $\Delta$ — любое борелевское подмножество $G$ и $x \in G$, то $m(\Delta ) = m(\Delta x) = m(x \Delta ) = m(\Delta^{-1})$, где $\Delta x \equiv \left\{ ax : a \in \Delta \right\}$, $x \Delta \equiv \left\{ xa : a \in \Delta \right\}$, а $\Delta^{-1} \equiv \left\{ a^{-1} : a \in \Delta \right\}$.

• Теорема 11.5: Если $G$ — компактная топологическая группа, то существует единственный положительный линейный функционал $I : C(G) \to \mathbb {F}$ такой, что (a) $I(1) = 1$; (b) если $f \in C(G)$, $f \geq 0$, и $f \neq 0$, то $I(f) > 0$; (c) если $f \in C(G)$ и $x \in G$, то $I(f) = I(f_x) = I({}_x f) = I(f^\# )$.

Пусть $G$ — локально компактная группа. Если $m$ — регулярная борелевская мера на $G$, покажите, что любые два из следующих свойств влекут третье: (a) $m(\Delta x) = m(\Delta )$ для каждого борелевского множества $\Delta$ и каждого $x$ из $G$; (b) $m(x \Delta ) = m(\Delta )$ для каждого борелевского множества $\Delta$ и каждого $x$ из $G$; (c) $m(\Delta ) = m(\Delta^{-1})$ для каждого борелевского множества $\Delta$.

Покажите, что отображения $S_0, L_x, R_x$ — линейные изометрии $M(G)$ на $M(G)$.

Докажите (11.7): если $e =$ единица $G$, то

для $x, y$ из $G$.

Пусть $S$ — абелева полугруппа; покажите, что существует положительный линейный функционал $L : l^\infty (S) \to \mathbb {F}$ такой, что (a) $L(1) = 1$, (b) $L(f_x) = L(f)$ для каждой $f$ из $l^\infty (S)$.

Если $S = \mathbb {N}$, что говорит упражнение 7 о банаховых пределах?

Если $G$ — компактная группа, $f : G \to \mathbb {F}$ — непрерывная функция и $\varepsilon > 0$, покажите, что существует окрестность $U$ единицы в $G$ такая, что $\left|f(x) - f(y)\right| < \varepsilon$, если $xy^{-1} \in U$. (Заметим, что это означает, что всякая непрерывная функция на компактной группе равномерно непрерывна.)

Если $G$ — локально компактная группа и $f \in C_b(G)$, пусть $\mathcal{O}(f) \equiv$ замыкание множества $\left\{ f_x : x \in G \right\}$ в $C_b(G)$. Пусть $AP(G) = \left\{ f \in C_b(G) : \mathcal{O}(f) \text{ компактно} \right\}$. Функции из $AP(G)$ называются почти периодическими.

Пусть $\mathscr {X}$ — нормированное пространство и единственные гиперплоскости $\mathscr {M}$ в $\mathscr {X}^*$ такие, что $\mathscr {M} \cap \ball \mathscr {X}^*$ слабо-* замкнуто, — это те, что слабо-* замкнуты. Докажите, что $\mathscr {X}$ — банахово пространство.

(фон Нейман) Пусть $A$ — подмножество $l^2$, состоящее из всех векторов $\left\{ x_{mn} : 1 \leq m < n < \infty \right\}$, где $x_{mn}(m) = 1$, $x_{mn}(n) = m$ и $x_{mn}(k) = 0$, если $k \neq m, n$. Покажите, что $0 \in \text{wk} - \cl A$, но никакая последовательность в $A$ не сходится слабо к $0$.

Где использовались предположения о сепарабельности и полноте $\mathscr {X}$ в доказательстве теоремы 12.11 (если $\mathscr {X}$ — сепарабельное банахово пространство и $\mathscr {M}$ — линейное многообразие в $\mathscr {X}^*$, то следующие утверждения эквивалентны: (a) $\mathscr {M}$ слабо-* секвенциально плотно в $\mathscr {X}^*$; (b) существует положительная постоянная $c$ такая, что для всякого $x$ из $\mathscr {X}$, $\left\| x\right\| \leq \sup \left\{ \left|\left\langle x, x^* \right\rangle \right| : x^* \in \mathscr {M}, \ \left\| x^*\right\| \leq c \right\}$; (c) существует положительная постоянная $c$ такая, что если $x^* \in \ball \mathscr {X}^*$, найдётся последовательность $\left\{ x_k^* \right\}$ в $\mathscr {M}$, $\left\| x_k^*\right\| \leq c$, такая, что $x_k^* \to x^*$ (wk*))?

Пусть $\mathscr {X}$ — сепарабельное банахово пространство. Если $\mathscr {M}$ — линейное многообразие в $\mathscr {X}^*$, дайте необходимые и достаточные условия того, чтобы всякий функционал из $\text{wk}^* - \cl \mathscr {M}$ был wk*-пределом последовательности из $\mathscr {M}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — нормированное пространство и $\mathscr {T}$ — локально выпуклая топология на $\mathscr {X}$ такая, что $\ball \mathscr {X}$ является $\mathscr {T}$-компактным. Покажите, что существует банахово пространство $\mathscr {Y}$ такое, что $\mathscr {X}$ изометрически изоморфно $\mathscr {Y}^*$.

Если $X$ — компактное связное топологическое пространство, не являющееся одноточечным, покажите, что $C(X)$ не является сопряжённым к банахову пространству. (Для $C_{\mathbb {R}}(X)$ это следствие упражнения 7.4. Для комплексного случая покажите, что если $C(X)$ является сопряжённым пространством, то $C_{\mathbb {R}}(X)$ является слабо-* замкнутым вещественным линейным подпространством в $C(X)$.)

Докажите следствие 13.2: если $\mathscr {X}$ — банахово пространство и $A \subseteq \mathscr {X}$, то $A$ слабо компактно тогда и только тогда, когда $A \cap \mathscr {M}$ слабо компактно для всякого сепарабельного подпространства $\mathscr {M}$ пространства $\mathscr {X}$.

Если $\mathscr {X}$ — банахово пространство и $K$ — компактное подмножество $\mathscr {X}$, докажите, что $\overline{\co }(K)$ компактно. (Это будет доказано в теореме VI.4.8 ниже.)

В доказательстве (13.4) (где $K$ — слабо компактное подмножество банахова пространства $\mathscr {X}$, $M(K) = C(K)^*$ и $T : M(K) \to \mathscr {X}$ определяется как $T(\mu ) = x_\mu$, элемент $\mathscr {X}$ такой, что $\left\langle x_\mu , x^* \right\rangle = \int_K \left\langle x, x^* \right\rangle \, d\mu (x)$ для всех $x^*$ из $\mathscr {X}^*$), если $\mathscr {P} =$ вероятностные меры на $K$, покажите, что $T(\mathscr {P}) = \overline{\co }(K)$.

Докажите теорему Эберлейна-Шмульяна в случае гильбертова пространства: если $\mathscr {H}$ — гильбертово пространство и $A \subseteq \mathscr {H}$, то следующие утверждения эквивалентны: (a) каждая последовательность элементов из $A$ имеет слабо сходящуюся подпоследовательность; (b) каждая последовательность элементов из $A$ имеет слабую предельную точку; (c) слабое замыкание $A$ слабо компактно.

Обратитесь к обозначениям упражнения 11.10. Докажите, что существует ограниченный линейный функционал $L : AP(G) \to \mathbb {F}$ такой, что $L(1) = 1$, $L(f) \geq 0$, если $f \geq 0$, и $L(f_x) = L(f)$ для всех $f$ из $AP(G)$ и $x$ из $G$.