Теорема Крейна–Шмульяна

Пусть $\mathscr {X}$ — нормированное пространство и единственные гиперплоскости $\mathscr {M}$ в $\mathscr {X}^*$ такие, что $\mathscr {M} \cap \ball \mathscr {X}^*$ слабо-* замкнуто, — это те, что слабо-* замкнуты. Докажите, что $\mathscr {X}$ — банахово пространство.

(фон Нейман) Пусть $A$ — подмножество $l^2$, состоящее из всех векторов $\left\{ x_{mn} : 1 \leq m < n < \infty \right\}$, где $x_{mn}(m) = 1$, $x_{mn}(n) = m$ и $x_{mn}(k) = 0$, если $k \neq m, n$. Покажите, что $0 \in \text{wk} - \cl A$, но никакая последовательность в $A$ не сходится слабо к $0$.

Где использовались предположения о сепарабельности и полноте $\mathscr {X}$ в доказательстве теоремы 12.11 (если $\mathscr {X}$ — сепарабельное банахово пространство и $\mathscr {M}$ — линейное многообразие в $\mathscr {X}^*$, то следующие утверждения эквивалентны: (a) $\mathscr {M}$ слабо-* секвенциально плотно в $\mathscr {X}^*$; (b) существует положительная постоянная $c$ такая, что для всякого $x$ из $\mathscr {X}$, $\left\| x\right\| \leq \sup \left\{ \left|\left\langle x, x^* \right\rangle \right| : x^* \in \mathscr {M}, \ \left\| x^*\right\| \leq c \right\}$; (c) существует положительная постоянная $c$ такая, что если $x^* \in \ball \mathscr {X}^*$, найдётся последовательность $\left\{ x_k^* \right\}$ в $\mathscr {M}$, $\left\| x_k^*\right\| \leq c$, такая, что $x_k^* \to x^*$ (wk*))?

Пусть $\mathscr {X}$ — сепарабельное банахово пространство. Если $\mathscr {M}$ — линейное многообразие в $\mathscr {X}^*$, дайте необходимые и достаточные условия того, чтобы всякий функционал из $\text{wk}^* - \cl \mathscr {M}$ был wk*-пределом последовательности из $\mathscr {M}$.

Пусть $\mathscr {X}$ — нормированное пространство и $\mathscr {T}$ — локально выпуклая топология на $\mathscr {X}$ такая, что $\ball \mathscr {X}$ является $\mathscr {T}$-компактным. Покажите, что существует банахово пространство $\mathscr {Y}$ такое, что $\mathscr {X}$ изометрически изоморфно $\mathscr {Y}^*$.

Если $X$ — компактное связное топологическое пространство, не являющееся одноточечным, покажите, что $C(X)$ не является сопряжённым к банахову пространству. (Для $C_{\mathbb {R}}(X)$ это следствие упражнения 7.4. Для комплексного случая покажите, что если $C(X)$ является сопряжённым пространством, то $C_{\mathbb {R}}(X)$ является слабо-* замкнутым вещественным линейным подпространством в $C(X)$.)