Теорема Алаоглу

Покажите, что функционал $f$, встречающийся в доказательстве теоремы Алаоглу, линеен.

Пусть $\mathcal{X}$ — ЛВП, а $V$ — открытая окрестность $0$. Покажите, что $V^\circ$ слабо-звёздно компактно в $\mathcal{X}^*$.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство, покажите, что существует компактное пространство $X$ такое, что $\mathcal{X}$ изометрически изоморфно замкнутому подпространству $C(X)$.