Рефлексивность: продолжение

Покажите, что если $\mathcal{X}$ рефлексивно и $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, то $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ рефлексивно.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство, $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, и оба пространства $\mathcal{M}$ и $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ рефлексивны, обязано ли $\mathcal{X}$ быть рефлексивным?

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, покажите, что $L^1(X, \Omega , \mu )$ рефлексивно тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

Приведите подробности доказательств утверждений, сделанных в примере 4.5.

Проверьте утверждение, сделанное в примере 4.8.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, покажите, что $L^\infty (\mu )$ слабо-звёздно секвенциально полно, но рефлексивно тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

Пусть $X$ компактно, и предположим, что на $C(X)$ существует норма, задаваемая скалярным произведением, превращающим $C(X)$ в гильбертово пространство, такая, что для каждого $x$ из $X$ функционал $f \mapsto f(x)$ на $C(X)$ непрерывен относительно нормы гильбертова пространства. Покажите, что $X$ конечно.