Теорема Крейна–Мильмана

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $1 < p < \infty$, то множество крайних точек $\ball L^p(\mu )$ есть $\left\{ f \in L^p(\mu ) : \left\| f\right\|_{p} = 1 \right\}$.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, множество крайних точек $\ball L^1(\mu )$ есть $\left\{ \alpha \chi_E : E \text{ — атом меры } \mu , \ \alpha \in \mathbb {F}, \text{ и } \left|\alpha \right| = \mu (E)^{-1} \right\}$.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, множество крайних точек $\ball L^\infty (\mu )$ есть $\left\{ f \in L^\infty (\mu ) : \left|f(x)\right| = 1 \text{ п.в. } [\mu ] \right\}$.

Если $X$ вполне регулярно, множество крайних точек $\ball C_b(X)$ есть $\left\{ f \in C_b(X) : \left|f(x)\right| = 1 \text{ для всех } x \right\}$. Так, $\ball C_{\mathbb {R}}[0,1]$ имеет ровно две крайние точки.

Пусть $X$ — вполне несвязное компактное пространство. (То есть $X$ компактно, и если $x \in X$, а $U$ — окрестность $x$, то существует подмножество $V$ пространства $X$, являющееся одновременно открытым и замкнутым и такое, что $x \in V \subseteq U$. Канторово множество — пример такого пространства.) Покажите, что $\ball C(X)$ является замыканием по норме выпуклой оболочки своих крайних точек.

Покажите, что $\ball l^1$ является замыканием по норме выпуклой оболочки своих крайних точек.

Покажите, что если $X$ локально компактно, но не компактно, то $\ball C_0(X)$ не имеет крайних точек.

Если $\mathcal{X}$ — ЛВП, а $K_1, \dots , K_n$ — компактные выпуклые подмножества $\mathcal{X}$, то $\overline{\co }(K_1 \cup \dots \cup K_n) = \co (K_1 \cup \dots \cup K_n)$, и эта выпуклая оболочка компактна.

Пусть $K$ выпукло, а $T : K \to \mathcal{Y}$ — аффинное отображение. Если $y$ — крайняя точка $T(K)$, а $x$ — крайняя точка $T^{-1}(y)$, то $x$ — крайняя точка $K$.

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, а либо $T$, либо $T^*$ является изометрией, покажите, что $T$ — крайняя точка замкнутого единичного шара $\mathcal{B}(\mathcal{H})$.