Слабая компактность

Докажите следствие 13.2: если $\mathscr {X}$ — банахово пространство и $A \subseteq \mathscr {X}$, то $A$ слабо компактно тогда и только тогда, когда $A \cap \mathscr {M}$ слабо компактно для всякого сепарабельного подпространства $\mathscr {M}$ пространства $\mathscr {X}$.

Если $\mathscr {X}$ — банахово пространство и $K$ — компактное подмножество $\mathscr {X}$, докажите, что $\overline{\co }(K)$ компактно. (Это будет доказано в теореме VI.4.8 ниже.)

В доказательстве (13.4) (где $K$ — слабо компактное подмножество банахова пространства $\mathscr {X}$, $M(K) = C(K)^*$ и $T : M(K) \to \mathscr {X}$ определяется как $T(\mu ) = x_\mu$, элемент $\mathscr {X}$ такой, что $\left\langle x_\mu , x^* \right\rangle = \int_K \left\langle x, x^* \right\rangle \, d\mu (x)$ для всех $x^*$ из $\mathscr {X}^*$), если $\mathscr {P} =$ вероятностные меры на $K$, покажите, что $T(\mathscr {P}) = \overline{\co }(K)$.

Докажите теорему Эберлейна-Шмульяна в случае гильбертова пространства: если $\mathscr {H}$ — гильбертово пространство и $A \subseteq \mathscr {H}$, то следующие утверждения эквивалентны: (a) каждая последовательность элементов из $A$ имеет слабо сходящуюся подпоследовательность; (b) каждая последовательность элементов из $A$ имеет слабую предельную точку; (c) слабое замыкание $A$ слабо компактно.

Обратитесь к обозначениям упражнения 11.10. Докажите, что существует ограниченный линейный функционал $L : AP(G) \to \mathbb {F}$ такой, что $L(1) = 1$, $L(f) \geq 0$, если $f \geq 0$, и $L(f_x) = L(f)$ для всех $f$ из $AP(G)$ и $x$ из $G$.