Двойственность

Покажите, что wk — наименьшая топология на $\mathcal{X}$, относительно которой каждый $x^*$ из $\mathcal{X}^*$ непрерывен.

Покажите, что wk* — наименьшая топология на $\mathcal{X}^*$ такая, что для каждого $x$ из $\mathcal{X}$ отображение $x^* \mapsto \left\langle x, x^* \right\rangle$ непрерывно.

Докажите теорему 1.3.

Пусть $\mathcal{X}$ — комплексное ЛВП, и пусть $\mathcal{X}^*_{\mathbb {R}}$ обозначает совокупность всех непрерывных вещественных линейных функционалов на $\mathcal{X}$. Используйте элементы $\mathcal{X}^*_{\mathbb {R}}$ для определения полунорм на $\mathcal{X}$ и пусть $\sigma (\mathcal{X}, \mathcal{X}^*_{\mathbb {R}})$ — соответствующая топология. Покажите, что $\sigma (\mathcal{X}, \mathcal{X}^*) = \sigma (\mathcal{X}, \mathcal{X}^*_{\mathbb {R}})$.

Докажите оставшуюся часть предложения 1.7.

Если $A \subseteq \mathcal{X}$, покажите, что $A$ слабо ограничено тогда и только тогда, когда $A^\circ$ поглощающее в $\mathcal{X}^*$.

Пусть $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, и пусть $\left\{ x_n\right\}$ — последовательность в $\mathcal{X}$ такая, что $x_n \to x$ слабо. Покажите, что существует последовательность $\left\{ y_n\right\}$ такая, что $y_n \in \operatorname {co}\left\{ x_1, x_2, \dots , x_n\right\}$ и $\left\| y_n - x\right\| \to 0$.

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, а $\left\{ h_n\right\}$ — последовательность в $\mathcal{H}$ такая, что $h_n \to h$ слабо и $\left\| h_n\right\| \to \left\| h\right\|$, то $\left\| h_n - h\right\| \to 0$. (Аналогичный результат верен для $L^p$-пространств при $1 < p < \infty$. См. W.P. Novinger [1972].)

Если $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, покажите, что норма на $\mathcal{X}$ полунепрерывна снизу относительно слабой топологии, а норма на $\mathcal{X}^*$ полунепрерывна снизу относительно слабой-звёздной топологии.

Предположим, что $\mathcal{X}$ — бесконечномерное нормированное пространство. Если $S = \left\{ x \in \mathcal{X} : \left\| x\right\| = 1\right\}$, то слабое замыкание $S$ есть $\left\{ x : \left\| x\right\| \leq 1\right\}$.