Двойственное пространство к подпространству и факторпространству

В связи с утверждением 2.4 покажите, что если $\mathcal{Z} \leq \mathcal{X}$, $\dim \mathcal{Z} < \infty$, а $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, то $\mathcal{Z} + \mathcal{M}$ замкнуто.

Покажите, что если $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$ и $\mathcal{M}$ топологически дополняемо в $\mathcal{X}$, то $\mathcal{M}^\perp$ топологически дополняемо в $\mathcal{X}^*$ и что его дополнение слабо-звёздно и линейно гомеоморфно $\mathcal{X}^*/\mathcal{M}^\perp$.