Теорема Рылль-Нардзевского о неподвижной точке

Использовалась ли локальная выпуклость в доказательстве теоремы Маркова--Какутани о неподвижной точке 10.1 (если $K$ — непустое компактное выпуклое подмножество ЛВП $\mathscr {X}$, а $\mathscr {F}$ — семейство непрерывных аффинных отображений $K$ в себя, являющееся абелевым, то существует $x_0$ из $K$ такое, что $T(x_0) = x_0$ для всех $T$ из $\mathscr {F}$)?

Покажите, что если $X$ локально компактно и $X = \bigcup_{n=1}^{\infty } F_n$, где каждое $F_n$ замкнуто в $X$, то существует такое целое число $n$, что $\interior F_n \neq \emptyset$.