Банк задач по математике

Задача V.5.1

Пусть $B = \operatorname {ball} M[0,1]$ , и для $\mu , \nu$ из $M[0,1]$ определим

d(\mu , \nu ) = \sum _{n=0}^{\infty } 2^{-n} \left| \int _0^1 x^n \, d\mu - \int _0^1 x^n \, d\nu \right|.

Покажите, что $d$ — метрика на $M[0,1]$ , задающая слабую-звёздную топологию на $B$ , но не на $M[0,1]$ .

?

Задача V.5.2

(a)(b)(c)

Пусть $X$ — компактное пространство, и пусть $\mathcal{U} = \left\{ (U,V) : U, V \text{ — открытые подмножества } X \text{ и } \operatorname {cl} U \subseteq V\right\}$ . Для $u = (U,V)$ из $\mathcal{U}$ пусть $f_u : X \to [0,1]$ — непрерывная функция такая, что $f_u \equiv 1$ на $\operatorname {cl} U$ и $f_u \equiv 0$ на $X \setminus V$ . Покажите:

?

(a)

линейная оболочка $\left\{ f_u : u \in \mathcal{U}\right\}$ плотна в $C(X)$ ;

(b)

если $X$ — метрическое пространство, то $C(X)$ сепарабельно;

(c)

если $X$ — $\sigma$ -компактное метризуемое локально компактное пространство, то $C_0(X)$ сепарабельно. ( $X$ $\sigma$ -компактно, если $X$ является объединением счётного числа компактных подмножеств.)

Задача V.5.3

(a)(b)

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство и $\mathcal{X}^*$ сепарабельно, покажите, что

?

(a)

$\mathcal{X}$ сепарабельно;

(b)

если $K$ — слабо компактное подмножество $\mathcal{X}$ , то $K$ с относительной слабой топологией метризуемо.

Задача V.5.4

Если $B = \operatorname {ball} l^\infty$ , покажите, что

d(\phi , \psi ) = \sum _{j=1}^{\infty } 2^{-j} |\phi (j) - \psi (j)|

задаёт метрику на $B$ и что эта метрика задаёт слабую-звёздную топологию на $B$ .

?

Задача V.5.5

Используя тип рассуждения, применённый в доказательстве принципа равномерной ограниченности, получите доказательство предложения 5.2, не использующее теорему Бэра о категориях.

?

Задача V.5.6

Покажите, что предложение 5.2 неверно для $l^p$ при $1 < p < \infty$ .

?

Сепарабельность и метризуемость