Приложение: теорема Стоуна–Вейерштрасса

Предположим, что $\mathcal{A}$ — подалгебра $C(X)$, разделяющая точки $X$, и $1 \in \mathcal{A}$. Покажите, что если $x_1, \dots , x_n$ — различные точки $X$, а $\alpha_1, \dots , \alpha_n \in \mathbb {F}$, то существует $f$ из $\mathcal{A}$ такое, что $f(x_j) = \alpha_j$ для $1 \leq j \leq n$.

Приведите подробности доказательства следствия 8.3: если $X$ локально компактно, а $\mathcal{A}$ — замкнутая подалгебра $C_0(X)$ такая, что

Если $X$ компактно, покажите, что для каждого $x$ из $X$ $\delta_x$ является крайней точкой $P(X)$, а $\alpha \delta_x$, $\left|\alpha \right| = 1$, является крайней точкой $\ball M(X)$.

Пусть $X$ компактно, и пусть $\mathcal{A}$ — замкнутая подалгебра $C(X)$ такая, что $1 \in \mathcal{A}$, и $\mathcal{A}$ замкнута относительно комплексного сопряжения. Определим отношение эквивалентности $\sim$ на $X$, полагая $x \sim y$ тогда и только тогда, когда $f(x) = f(y)$ для всех $f$ из $\mathcal{A}$. Пусть $X / \sim$ — соответствующее фактор-пространство, а $\pi : X \to X / \sim$ — естественное отображение. Наделим $X / \sim$ фактор-топологией.

Пусть $X$ вполне регулярно, и топологизируем $C(X)$, как в примере IV.1.5. Если $\mathcal{A}$ — замкнутая подалгебра $C(X)$ такая, что $1 \in \mathcal{A}$, $\mathcal{A}$ разделяет точки $X$, и $\bar{f} \in \mathcal{A}$, когда $f \in \mathcal{A}$, то $\mathcal{A} = C(X)$.

Пусть $X, Y$ — компактные пространства; покажите, что если $f \in C(X \times Y)$ и $\varepsilon > 0$, то существуют функции $g_1, \dots , g_n$ из $C(X)$ и $h_1, \dots , h_n$ из $C(Y)$ такие, что $\left|f(x,y) - \sum_{k=1}^n g_k(x) h_k(y)\right| < \varepsilon$ для всех $(x,y)$ из $X \times Y$.

Пусть $\mathcal{A}$ — равномерно замкнутая подалгебра $C_b(\mathbb {R})$, порождённая $\sin x$ и $\cos x$. Покажите, что $\mathcal{A} = \left\{ f \in C_b(\mathbb {R}) : f(t) = f(t + 2\pi ) \text{ для всех } t \text{ из } \mathbb {R} \right\}$.

Если $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, $f \in C(K)$, и $\varepsilon > 0$, покажите, что существует многочлен $p(z, \bar{z})$ от $z$ и $\bar{z}$ такой, что $\left|f(z) - p(z,\bar{z})\right| < \varepsilon$ для всех $z$ из $K$.