Приложение: мера Хаара на компактной группе

Пусть $G$ — группа и топологическое пространство. Покажите, что $G$ является топологической группой тогда и только тогда, когда отображение $G \times G \to G$, заданное формулой $(x,y) \mapsto x^{-1} y$, непрерывно.

Проверьте утверждения из примеров 11.2:

Покажите, что теоремы 11.4 и 11.5 эквивалентны, где:

• Теорема 11.4: Если $G$ — компактная топологическая группа, то существует единственная положительная регулярная борелевская мера $m$ на $G$ такая, что (a) $m(G) = 1$; (b) если $U$ — непустое открытое подмножество $G$, то $m(U) > 0$; (c) если $\Delta$ — любое борелевское подмножество $G$ и $x \in G$, то $m(\Delta ) = m(\Delta x) = m(x \Delta ) = m(\Delta^{-1})$, где $\Delta x \equiv \left\{ ax : a \in \Delta \right\}$, $x \Delta \equiv \left\{ xa : a \in \Delta \right\}$, а $\Delta^{-1} \equiv \left\{ a^{-1} : a \in \Delta \right\}$.

• Теорема 11.5: Если $G$ — компактная топологическая группа, то существует единственный положительный линейный функционал $I : C(G) \to \mathbb {F}$ такой, что (a) $I(1) = 1$; (b) если $f \in C(G)$, $f \geq 0$, и $f \neq 0$, то $I(f) > 0$; (c) если $f \in C(G)$ и $x \in G$, то $I(f) = I(f_x) = I({}_x f) = I(f^\# )$.

Пусть $G$ — локально компактная группа. Если $m$ — регулярная борелевская мера на $G$, покажите, что любые два из следующих свойств влекут третье: (a) $m(\Delta x) = m(\Delta )$ для каждого борелевского множества $\Delta$ и каждого $x$ из $G$; (b) $m(x \Delta ) = m(\Delta )$ для каждого борелевского множества $\Delta$ и каждого $x$ из $G$; (c) $m(\Delta ) = m(\Delta^{-1})$ для каждого борелевского множества $\Delta$.

Покажите, что отображения $S_0, L_x, R_x$ — линейные изометрии $M(G)$ на $M(G)$.

Докажите (11.7): если $e =$ единица $G$, то

для $x, y$ из $G$.

Пусть $S$ — абелева полугруппа; покажите, что существует положительный линейный функционал $L : l^\infty (S) \to \mathbb {F}$ такой, что (a) $L(1) = 1$, (b) $L(f_x) = L(f)$ для каждой $f$ из $l^\infty (S)$.

Если $S = \mathbb {N}$, что говорит упражнение 7 о банаховых пределах?

Если $G$ — компактная группа, $f : G \to \mathbb {F}$ — непрерывная функция и $\varepsilon > 0$, покажите, что существует окрестность $U$ единицы в $G$ такая, что $\left|f(x) - f(y)\right| < \varepsilon$, если $xy^{-1} \in U$. (Заметим, что это означает, что всякая непрерывная функция на компактной группе равномерно непрерывна.)

Если $G$ — локально компактная группа и $f \in C_b(G)$, пусть $\mathcal{O}(f) \equiv$ замыкание множества $\left\{ f_x : x \in G \right\}$ в $C_b(G)$. Пусть $AP(G) = \left\{ f \in C_b(G) : \mathcal{O}(f) \text{ компактно} \right\}$. Функции из $AP(G)$ называются почти периодическими.