V.6

Приложение: компактификация Стоуна–Чеха

[8/0%]
LaTeX
Задача V.6.1

Если x∈Xx \in X и δx(f)=f(x)\delta_x(f) = f(x) для всех ff из Cb(X)C_b(X), покажите, что ∥δx∥=1\left\| \delta_x\right\| = 1.

?
Задача V.6.2

Докажите, что подмножество вполне регулярного пространства вполне регулярно.

?
Задача V.6.3

Восполните недостающие детали доказательства теоремы 6.2 (компактификация Стоуна--Чеха): если XX вполне регулярно, то существует компактное пространство βX\beta X такое, что

?
(a)

существует непрерывное отображение Δ:X→βX\Delta : X \to \beta X, обладающее тем свойством, что Δ:X→Δ(X)\Delta : X \to \Delta (X) — гомеоморфизм;

(b)

Δ(X)\Delta (X) плотно в βX\beta X;

(c)

если f∈Cb(X)f \in C_b(X), то существует непрерывное отображение fβ:βX→Ff^\beta : \beta X \to \mathbb {F} такое, что fβ∘Δ=ff^\beta \circ \Delta = f.

Более того, если Ω\Omega — компактное пространство, обладающее этими свойствами, то Ω\Omega гомеоморфно βX\beta X.

Задача V.6.4

Если XX вполне регулярно, Ω\Omega компактно, а f:X→Ωf : X \to \Omega непрерывно, покажите, что существует непрерывное отображение fβ:βX→Ωf^\beta : \beta X \to \Omega такое, что fβ∣X=ff^\beta | X = f.

?
Задача V.6.5

Если XX вполне регулярно, покажите, что XX открыто в βX\beta X тогда и только тогда, когда XX локально компактно.

?
Задача V.6.6

Пусть N\mathbb {N} наделено дискретной топологией. Пусть {rn:n∈N}\left\{ r_n : n \in \mathbb {N} \right\} — перечисление рациональных чисел из [0,1][0,1]. Пусть S=S = иррациональные числа из [0,1][0,1], и для каждого ss из SS пусть {rn:n∈Ns}\left\{ r_n : n \in N_s \right\} — подпоследовательность {rn}\left\{ r_n \right\} такая, что s=lim⁡{rn:n∈Ns}s = \lim \left\{ r_n : n \in N_s \right\}. Покажите:

?
(a)

если s,t∈Ss, t \in S и s≠ts \neq t, то Ns∩NtN_s \cap N_t конечно;

(b)

если для каждого ss из SS положить \clNs=\cl N_s = замыкание NsN_s в βN\beta \mathbb {N} и As=(\clNs)∖NA_s = (\cl N_s) \setminus \mathbb {N}, то {As:s∈S}\left\{ A_s : s \in S \right\} — попарно непересекающиеся подмножества βN∖N\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N}, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми.

Задача V.6.7

Покажите, что если XX нормально, τ∈βX\tau \in \beta X, и существует последовательность {xn}\left\{ x_n \right\} в XX такая, что xn→τx_n \to \tau в βX\beta X, то τ∈X\tau \in X. Если XX не нормально, остаётся ли результат верным?

?
Задача V.6.8

Пусть XX — пространство всех порядковых чисел, меньших первого несчётного порядкового числа, и наделим XX топологией порядка. Покажите, что βX=\beta X = одноточечная компактификация XX. (Соответствующие определения можно найти у Kelley [1955].)

?