Банаховы пространства

Завершите доказательство предложения 1.3: если $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, то

Завершите доказательство предложения 1.5: если $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ — две нормы на $\mathcal{X}$, то эти нормы эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют положительные константы $c$ и $C$, такие что

для всех $x$ из $\mathcal{X}$. (Импликация «существование констант $\Rightarrow$ эквивалентность» доказана в тексте; остаётся только обратная импликация.)

Для $1 \leq p < \infty$ и $x = (x_1, \ldots , x_d)$ из $\mathbb {F}^d$ определим $\left\| x\right\|_{p} \equiv \left[\sum_{j=1}^{d} \left|x_j\right|^p\right]^{1/p}$; определим $\left\| x\right\|_{\infty } \equiv \sup \left\{ \left|x_j\right| : 1 \leq j \leq d\right\}$. Покажите, что все эти нормы эквивалентны. Для $1 \leq p, q \leq \infty$, каковы наилучшие константы $c$ и $C$, такие что $c \left\| x\right\|_{p} \leq \left\| x\right\|_{q} \leq C \left\| x\right\|_{p}$ для всех $x$ из $\mathbb {F}^d$?

Если $1 \leq p \leq \infty$ и $\left\| \cdot \right\|_{p}$ определена на $\mathbb {R}^2$, как в упражнении 3, изобразите $\left\{ x \in \mathbb {R}^2 : \left\| x\right\|_{p} = 1\right\}$. Заметьте, что если $1 < p < \infty$, $\left\| x\right\|_{p} = \left\| y\right\|_{p} = 1$ и $x \neq y$, то при $0 < t < 1$, $\left\| tx + (1-t)y\right\|_{p} < 1$. Того же нельзя сказать при $p = 1, \infty$.

Пусть $c =$ множество всех последовательностей $\left\{ \alpha_n\right\}_1^\infty$, $\alpha_n$ из $\mathbb {F}$, таких что $\lim \alpha_n$ существует. Покажите, что $c$ — замкнутое подпространство $l^\infty$ и, следовательно, банахово пространство.

Пусть $X = \left\{ n^{-1} : n \geq 1\right\} \cup \left\{ 0\right\}$. Покажите, что $C(X)$ и пространство $c$ из упражнения 5 изометрически изоморфны.

Если $l^\infty (I)$ и $l^\infty (J)$ изометрически изоморфны, имеют ли $I$ и $J$ одинаковую мощность?

Покажите, что $l^\infty$ не сепарабельно.

Завершите доказательство предложения 1.7: если $X$ — локально компактное пространство и $C_0(X) =$ все непрерывные функции $f : X \to \mathbb {F}$, такие что для всех $\varepsilon > 0$ множество $\left\{ x \in X : \left|f(x)\right| \geq \varepsilon \right\}$ компактно, то $C_0(X)$ — замкнутое подпространство $C_b(X)$ и, следовательно, банахово пространство. (В тексте показано, что $C_0(X)$ замкнуто в $C_b(X)$; остаётся лишь факт, что $C_0(X)$ является линейным многообразием в $C_b(X)$.)

Проверьте утверждения в примере 1.10: пусть $n \geq 1$ и пусть $C^{(n)}[0,1] =$ совокупность функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$, таких что $f$ имеет $n$ непрерывных производных. Определим $\left\| f\right\| = \sup_{0 \leq k \leq n} \left\{ \sup \left\{ \left|f^{(k)}(x)\right| : 0 \leq x \leq 1\right\} \right\}$. Тогда $C^{(n)}[0,1]$ — банахово пространство.

Проверьте утверждения в примере 1.11: пусть $1 \leq p < \infty$ и $n \geq 1$, и пусть $W_p^n[0,1] =$ функции $f : [0,1] \to \mathbb {F}$, такие что $f$ имеет $n - 1$ непрерывных производных, $f^{(n-1)}$ абсолютно непрерывна, и $f^{(n)} \in L^p[0,1]$. Для $f$ из $W_p^n[0,1]$ определим

Тогда $W_p^n[0,1]$ — банахово пространство.

Пусть $X$ локально компактно, и пусть $X_\infty = X \cup \left\{ \infty \right\}$ — одноточечная компактификация $X$. Покажите, что $C_0(X)$ и $\left\{ f \in C(X_\infty ) : f(\infty ) = 0\right\}$ с нормой, унаследованной как подпространство $C(X_\infty )$, являются изометрически изоморфными банаховыми пространствами.

Пусть $X$ локально компактно, и определим $C_c(X)$ как непрерывные функции $f : X \to \mathbb {F}$, такие что $\mathrm{spt}\, f \equiv \mathrm{cl}\left\{ x \in X : f(x) \neq 0\right\}$ компактен ($\mathrm{spt}\, f$ — носитель $f$). Покажите, что $C_c(X)$ плотно в $C_0(X)$.

Если $W_p^n[0,1]$ определено, как в примере 1.11, и $f \in W_p^n[0,1]$, пусть $\vertiii {f} \equiv \left[\int \left|f(x)\right|^p \, dx\right]^{1/p} + \left[\int \left|f^{(n)}(x)\right|^p \, dx\right]^{1/p}$. Покажите, что $\vertiii {\cdot }$ эквивалентна норме, определённой на $W_p^n[0,1]$.

Пусть $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, и пусть $\hat{\mathcal{X}}$ — его пополнение как метрического пространства. Покажите, что $\hat{\mathcal{X}}$ — банахово пространство.

Покажите, что норма на $C([0,1]) = C_b([0,1])$ не порождается скалярным произведением, показав, что она не удовлетворяет тождеству параллелограмма.

Покажите, что для $\mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathbb {F}) \neq (0)$, $\mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ является банаховым пространством тогда и только тогда, когда $\mathcal{Y}$ — банахово пространство.

Пусть $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, $\mathcal{Y}$ — банахово пространство, и пусть $\hat{\mathcal{X}}$ — пополнение $\mathcal{X}$. Покажите, что если $\rho : \mathcal{B}(\hat{\mathcal{X}}, \mathcal{Y}) \to \mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ определено формулой $\rho (A) = A|\mathcal{X}$, то $\rho$ — изометрический изоморфизм.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, $\phi : X \to \mathbb {F}$ — $\Omega$-измеримая функция, $1 \leq p \leq \infty$, и $\phi f \in L^p(\mu )$ всякий раз, когда $f \in L^p(\mu )$, то покажите, что $\phi \in L^\infty (\mu )$.

Проверьте утверждения в примере 2.2: если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $\phi \in L^\infty (X, \Omega , \mu )$, определим $M_\phi : L^p(X, \Omega , \mu ) \to L^p(X, \Omega , \mu )$, $1 \leq p \leq \infty$, формулой $M_\phi f = \phi f$ для всех $f$ из $L^p(X, \Omega , \mu )$. Тогда $M_\phi \in \mathcal{B}(L^p(X, \Omega , \mu ))$ и $\left\| M_\phi \right\| = \left\| \phi \right\|_{\infty }$.

Проверьте утверждения в примере 2.3: если $(X, \Omega , \mu )$, $k$, $c_1$ и $c_2$ таковы, как в примере II.1.6, и $1 \leq p \leq \infty$, то $K : L^p(\mu ) \to L^p(\mu )$, определённый формулой

для всех $f$ из $L^p(\mu )$ и $x$ из $X$, является ограниченным оператором на $L^p(\mu )$, и $\left\| K\right\| \leq c_1^{1/q} c_2^{1/p}$, где $1/p + 1/q = 1$.

Проверьте утверждения в примере 2.4: если $X$ и $Y$ — компактные пространства, и $\tau : Y \to X$ — непрерывное отображение, определим $A : C(X) \to C(Y)$ формулой $(Af)(y) = f(\tau (y))$. Тогда $A \in \mathcal{B}(C(X), C(Y))$ и $\left\| A\right\| = 1$.

Пусть $A$ и $\tau$ таковы, как в примере 2.4: $X$ и $Y$ — компактные пространства, $\tau : Y \to X$ — непрерывное отображение, и $A : C(X) \to C(Y)$ определён формулой $(Af)(y) = f(\tau (y))$.

Покажите, что если $\mathcal{X}$ — локально компактное нормированное пространство, то $\mathcal{X}$ конечномерно. (Этот же результат, принадлежащий Ф. Риссу, справедлив в более общих топологических векторных пространствах — см. определение в IV.1.1. Красивое доказательство этого факта см. у Питкэрна [1966].)

Пусть $\mathcal{X}$ — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {F}$ с базисом Гамеля $\left\{ e_1, \ldots , e_d\right\}$, и для $x = \sum_{j=1}^{d} x_j e_j$ определим $\left\| x\right\|_{\infty } \equiv \max \left\{ \left|x_j\right| : 1 \leq j \leq d\right\}$, как в доказательстве теоремы 3.1. Покажите, что $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ является нормой.

Покажите, что если $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, то (4.1) определяет норму на $\mathcal{X}/\mathcal{M}$, где (4.1) — это $\left\| x + \mathcal{M}\right\| = \inf \left\{ \left\| x+y\right\| : y \in \mathcal{M}\right\}$.

Докажите, что $\mathcal{X}$ — банахово пространство тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $\left\{ x_n\right\}$ — последовательность в $\mathcal{X}$, такая что $\sum \left\| x_n\right\| < \infty$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty } x_n$ сходится в $\mathcal{X}$.

Покажите, что если $(X, d)$ — метрическое пространство, а $\left\{ x_n\right\}$ — фундаментальная последовательность, для которой существует подпоследовательность $\left\{ x_{n_k}\right\}$, сходящаяся к $x_0$, то $x_n \to x_0$.

Найдите банахово пространство $\mathcal{X}$ и замкнутое подпространство $\mathcal{M}$, такие что естественное отображение $Q : \mathcal{X} \to \mathcal{X}/\mathcal{M}$ не является замкнутым отображением. Может ли естественное отображение вообще быть замкнутым отображением?

Докажите утверждение, обратное к (4.2b) — теорема 4.2 утверждает, что если $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$ и $\left\| x + \mathcal{M}\right\|$ определена, как в (4.1), то $\left\| \cdot \right\|$ — норма на $\mathcal{X}/\mathcal{M}$, а часть (b) утверждает, что если $\mathcal{X}$ — банахово пространство, то и $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ таково: если $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, и оба $\mathcal{M}$ и $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ полны, то $\mathcal{X}$ полно. (Это пример так называемого результата «два из трёх». Если любые два из $\mathcal{X}, \mathcal{M}$ и $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ полны, то полно и третье.)

Пусть $\mathcal{M} = \left\{ x \in l^p : x(2n) = 0 \text{ для всех } n\right\}$, $1 \leq p \leq \infty$. Покажите, что $l^p/\mathcal{M}$ изометрически изоморфно $l^p$.

Пусть $X$ — нормальное локально компактное пространство, а $F$ — замкнутое подмножество $X$. Если $\mathcal{M} \equiv \left\{ f \in C_0(X) : f(x) = 0 \text{ для всех } x \text{ из } F\right\}$, то $C_0(X)/\mathcal{M}$ изометрически изоморфно $C_0(F)$.

Докажите предложение 4.4: пусть $\left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$ — совокупность нормированных пространств, и пусть $\mathcal{X} = \oplus_p \mathcal{X}_i$, $1 \leq p \leq \infty$, где

а $\oplus_\infty \mathcal{X}_i \equiv \left\{ x \in \prod_i \mathcal{X}_i : \left\| x\right\| \equiv \sup_i \left\| x(i)\right\| < \infty \right\}$. Тогда:

Сформулируйте и докажите вариант предложения 4.4 для $\oplus_0 \mathcal{X}_n$, где, если $\left\{ \mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2, \ldots \right\}$ — последовательность нормированных пространств,

с нормой, которую оно имеет как подпространство $\oplus_\infty \mathcal{X}_n$. (Предложение 4.4 утверждает: пусть $\left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$ — совокупность нормированных пространств, и пусть $\mathcal{X} = \oplus_p \mathcal{X}_i$, $1 \leq p \leq \infty$. Тогда (a) $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, и проекция $P_i : \mathcal{X} \to \mathcal{X}_i$ — непрерывное линейное отображение с $\left\| P_i(x)\right\| \leq \left\| x\right\|$ для каждого $x$ из $\mathcal{X}$; (b) $\mathcal{X}$ — банахово пространство тогда и только тогда, когда каждое $\mathcal{X}_i$ — банахово пространство; (c) каждая проекция $P_i$ является открытым отображением $\mathcal{X}$ на $\mathcal{X}_i$.)

Если $\left\{ \mathcal{X}_1, \ldots , \mathcal{X}_n\right\}$ — конечная совокупность нормированных пространств и $1 \leq p \leq \infty$, покажите, что нормы на $\oplus_p \mathcal{X}_k$ все эквивалентны.

Вот обобщение предложения 4.4. Предположим, что $\left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$ — совокупность нормированных пространств, а $Y$ — нормированное пространство, содержащееся в $\mathbb {F}^I$. Определим $\mathcal{X} \equiv \left\{ x \in \prod_i \mathcal{X}_i : \text{существует } y \text{ из } Y \text{ такой, что } \left\| x(i)\right\| \leq y(i) \text{ для всех } i\right\}$. Если $x \in \mathcal{X}$, определим $\left\| x\right\| \equiv \inf \left\{ \left\| y\right\| : \left\| x(i)\right\| \leq y(i) \text{ для всех } i\right\}$. Тогда $(\mathcal{X}, \left\| \cdot \right\| )$ — нормированное пространство. Дайте необходимые и достаточные условия на $Y$, при которых каждая из частей (4.4) верна для $\mathcal{X}$.

Пусть $\mathcal{X}$ — нормированное пространство и $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$.

Пусть $\left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$ — совокупность ненулевых нормированных пространств. Для $1 \leq p < \infty$ положим $\mathcal{X} = \oplus_p \mathcal{X}_i$. Покажите, что $\mathcal{X}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда $I$ счётно и каждое $\mathcal{X}_i$ сепарабельно. Покажите, что $\oplus_\infty \mathcal{X}_i$ сепарабельно тогда и только тогда, когда $I$ конечно и каждое $\mathcal{X}_i$ сепарабельно.

Покажите, что $\oplus_0 \mathcal{X}_n$ сепарабельно тогда и только тогда, когда каждое $\mathcal{X}_n$ сепарабельно.

Пусть $J \subseteq I$, и $\mathcal{X} \equiv \oplus_p \left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$, $\mathcal{M} \equiv \left\{ x \in \mathcal{X} : x(j) = 0 \text{ при } j \text{ из } J\right\}$. Покажите, что $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ изометрически изоморфно $\oplus_p \left\{ \mathcal{X}_j : j \in J\right\}$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, и предположим, что $\mathcal{M} \leq \mathcal{H}$. Покажите, что если $Q : \mathcal{H} \to \mathcal{H}/\mathcal{M}$ — естественное отображение, то $Q : \mathcal{M}^\perp \to \mathcal{H}/\mathcal{M}$ — изометрический изоморфизм.

Завершите доказательство предложения 5.4: если $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, то $\mathcal{X}^*$ — банахово пространство. (В тексте показано, что $\mathcal{X}^*$ полно; остаётся лишь факт, что $\mathcal{X}^*$ — нормированное пространство.)

Покажите, что $\mathcal{X}^*$ — нормированное пространство.

Приведите пример пространства с мерой $(X, \Omega , \mu )$, не являющегося $\sigma$-конечным, для которого заключение теоремы 5.6 неверно, где теорема 5.6 утверждает: если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $g \in L^\infty (X, \Omega , \mu )$, определим $F_g : L^1(\mu ) \to \mathbb {F}$ формулой $F_g(f) = \int fg \, d\mu$. Тогда $F_g \in L^1(\mu )^*$, и отображение $g \mapsto F_g$ задаёт изометрический изоморфизм $L^\infty (\mu )$ на $L^1(\mu )^*$.

Пусть $\left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$ — совокупность нормированных пространств. Если $1 \leq p < \infty$, покажите, что сопряжённое пространство к $\oplus_p \mathcal{X}_i$ изометрически изоморфно $\oplus_q \mathcal{X}_i^*$, где $1/p + 1/q = 1$.

Если $\mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2, \ldots$ — нормированные пространства, покажите, что $(\oplus_0 \mathcal{X}_n)^*$ изометрически изоморфно $\oplus_1 \mathcal{X}_n^*$.

Пусть $n \geq 1$ и пусть $C^{(n)}[0,1]$ определено, как в примере 1.10 (совокупность функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$, имеющих $n$ непрерывных производных, с нормой $\left\| f\right\| = \sup_{0 \leq k \leq n}\left\{ \sup \left\{ \left|f^{(k)}(x)\right| : 0 \leq x \leq 1\right\} \right\}$). Покажите, что $\left\| f\right\| = \sum_{k=0}^{n-1} \left|f^{(k)}(0)\right| + \sup \left\{ \left|f^{(n)}(x)\right| : 0 \leq x \leq 1\right\}$ — эквивалентная норма на $C^{(n)}[0,1]$. Покажите, что $L \in (C^{(n)}[0,1])^*$ тогда и только тогда, когда существуют скаляры $\alpha_0, \alpha_1, \ldots , \alpha_{n-1}$ и мера $\mu$ на $[0,1]$, такие что $L(f) = \sum_{k=0}^{n-1} \alpha_k f^{(k)}(0) + \int f^{(n)} \, d\mu$. Если $C^{(n)}[0,1]$ наделено этой новой нормой, найдите формулу для $\left\| L\right\|$ через $\left|\alpha_0\right|, \left|\alpha_1\right|, \ldots , \left|\alpha_{n-1}\right|$ и $\left\| \mu \right\|$?

Наделим $\mathcal{X} = C([0,1])$ нормой $\left\| f\right\| = \int \left|f(t)\right| \, dt$ и определим $L : \mathcal{X} \to \mathbb {F}$ формулой $L(f) = f(\tfrac {1}{2})$. Покажите напрямую (не используя теорему 5.6), что $L$ не ограничен. Теперь докажите это как следствие из (5.6), где теорема 5.6 утверждает: если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $g \in L^\infty (X, \Omega , \mu )$, определим $F_g : L^1(\mu ) \to \mathbb {F}$ формулой $F_g(f) = \int fg \, d\mu$. Тогда $F_g \in L^1(\mu )^*$, и отображение $g \mapsto F_g$ задаёт изометрический изоморфизм $L^\infty (\mu )$ на $L^1(\mu )^*$.

Завершите доказательство леммы 6.3.

Приведите подробности доказательства следствия 6.5.

Покажите, что $c^*$ изометрически изоморфно $l^1$. Изометрически ли изоморфны $c$ и $c_0$?

Если $\mu$ — борелевская мера на $[0,1]$ и $\int x^n \, d\mu (x) = 0$ для всех $n \geq 0$, покажите, что $\mu = 0$.

Если $n \geq 1$, покажите, что существует мера $\mu$ на $[0,1]$, такая что для каждого многочлена $p$ степени не выше $n$,

Если $n \geq 1$, существует ли мера $\mu$ на $[0,1]$, такая что $p'(0) = \int p \, d\mu$ для каждого многочлена степени не выше $n$?

Существует ли мера $\mu$ на $[0,1]$, такая что $\int p \, d\mu = p'(0)$ для каждого многочлена $p$?

Пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, и определим $A(K)$ как $\left\{ f \in C(K) : f \text{ аналитична на int } K\right\}$. (Функции здесь комплекснозначны.) Покажите, что если $a \in K$, то существует вероятностная мера $\mu$, сосредоточенная на $\partial K$, такая что $f(a) = \int f \, d\mu$ для каждого $f$ из $A(K)$. (Вероятностная мера — это неотрицательная мера $\mu$, такая что $\left\| \mu \right\| = 1$.)

Если $K = \mathrm{cl}\, \mathbb {D}$ ($\mathbb {D} = \left\{ \left|z\right| < 1\right\}$) и $a \in K$, найдите меру $\mu$, существование которой было доказано в упражнении 8.

Пусть $P = \left\{ p|\partial \mathbb {D} : p = \text{аналитический многочлен}\right\}$, и рассмотрим $P$ как многообразие в $C(\partial \mathbb {D})$. Покажите, что если $\mu$ — вещественнозначная мера на $\partial \mathbb {D}$, такая что $\int p \, d\mu = 0$ для каждого $p$ из $P$, то $\mu = 0$. Приведите пример комплекснозначной меры $\mu$, такой что $\mu \neq 0$, но $\int p \, d\mu = 0$ для каждого $p$ из $P$.

Если $L$ — банахов предел, покажите, что существуют $x$ и $y$ из $l^\infty$, такие что $L(xy) \neq L(x)L(y)$.

Пусть $X$ — множество, а $\Omega$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$. Предположим, что $\mu$ — комплекснозначная счётно-аддитивная мера, определённая на $\Omega$, такая что $\left\| \mu \right\| = \mu (X) < \infty$. Покажите, что $\mu (\Delta ) \geq 0$ для каждого $\Delta$ из $\Omega$. (Хотя это трудно увидеть сейчас, этот факт связан с доказательством пункта (c) теоремы 7.1 для комплексного случая.)

Покажите, что если $x \in l^\infty$, $\left\| x\right\|_{\infty } \leq 1$, то существует последовательность $\left\{ x_n\right\}$, $x_n$ из $l^\infty$, такая что $\left\| x_n\right\|_{\infty } \leq 1$, $\left\| x_n - x\right\|_{\infty } \to 0$, и каждое $x_n$ принимает лишь конечное число значений.

Пусть $\mu$ — мера с компактным носителем на $\mathbb {C}$, ограниченно абсолютно непрерывная относительно меры площади. Покажите, что $\hat{\mu }$ непрерывна на $\mathbb {C}_\infty$.

Пусть $m =$ мера Лебега на $[0,1]$. Покажите, что $\hat{m}$ не непрерывна ни в одной точке $[0,1]$.

Докажите предложение 9.3:

Докажите предложение 9.4: если $(\mathcal{X}, \leq )$ — упорядоченное векторное пространство, а $P$ — клин положительных элементов, то $\leq$ антисимметрично тогда и только тогда, когда $P \cap (-P) = (0)$.

Покажите, что $e$ является порядковой единицей для $(\mathcal{X}, \leq )$ тогда и только тогда, когда для каждого $x$ из $\mathcal{X}$ существует $\delta > 0$, такое что $e \pm tx \geq 0$ при $0 \leq t \leq \delta$.

Покажите, что $C(\mathbb {R})$, пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$, не имеет порядковой единицы.

Докажите (9.11): пусть $(\mathcal{X}, \leq )$ — упорядоченное векторное пространство, $\mathcal{Y}$ — линейное многообразие в $\mathcal{X}$, являющееся конфинальным, $f : \mathcal{Y} \to \mathbb {R}$ — положительный линейный функционал, и, для $x$ из $\mathcal{X}$,

тогда функция $q$ является сублинейным функционалом на $\mathcal{X}$.

Охарактеризуйте порядковые единицы $C_b(X)$. Всегда ли $C_b(X)$ имеет порядковую единицу?

Охарактеризуйте порядковые единицы $C_0(X)$, если $X$ локально компактно. Всегда ли $C_0(X)$ имеет порядковую единицу?

Пусть $\mathcal{X} = M_2(\mathbb {R})$, матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$. Определим $A$ из $M_2(\mathbb {R})$ как положительную, если $A = A^*$ и $\left\langle Ax, x \right\rangle \geq 0$ для всех $x$ из $\mathbb {R}^2$. Охарактеризуйте порядковые единицы $M_2(\mathbb {R})$.

Если $1 \leq p < \infty$ и $\mathcal{X} = L^p(0,1)$, определим $f \leq g$ как означающее $f(x) \leq g(x)$ п.в. Покажите, что $\mathcal{X}$ — упорядоченное векторное пространство, не имеющее порядковой единицы.

Покажите, что $(\mathcal{X}^*)^{**}$ и $(\mathcal{X}^{**})^*$ равны.

Покажите, что для локально компактного пространства $X$, $C_b(X)$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $X$ конечно.

Пусть $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, и пусть $\rho_{\mathcal{X}} : \mathcal{X} \to \mathcal{X}^{**}$ и $\rho_{\mathcal{M}} : \mathcal{M} \to \mathcal{M}^{**}$ — естественные отображения. Если $i : \mathcal{M} \to \mathcal{X}$ — отображение включения, покажите, что существует изометрия $\phi : \mathcal{M}^{**} \to \mathcal{X}^{**}$, такая что диаграмма

коммутативна. Докажите, что $\phi (\mathcal{M}^{**}) = (\mathcal{M}^\perp )^\perp \equiv \left\{ x^{**} \in \mathcal{X}^{**} : x^{**}(\mathcal{M}^\perp ) = 0\right\}$.

Используя упражнение 3, покажите, что если $\mathcal{X}$ рефлексивно, то любое замкнутое подпространство $\mathcal{X}$ также рефлексивно. См. Янг [1967].

Предположим, что $\mathcal{X}$ и $\mathcal{Y}$ — банаховы пространства. Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ и $\mathrm{ran}\, A$ — пространство второй категории, покажите, что $\mathrm{ran}\, A$ замкнуто.