Линейные операторы в нормированных пространствах

Покажите, что для $\mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathbb {F}) \neq (0)$, $\mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ является банаховым пространством тогда и только тогда, когда $\mathcal{Y}$ — банахово пространство.

Пусть $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, $\mathcal{Y}$ — банахово пространство, и пусть $\hat{\mathcal{X}}$ — пополнение $\mathcal{X}$. Покажите, что если $\rho : \mathcal{B}(\hat{\mathcal{X}}, \mathcal{Y}) \to \mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ определено формулой $\rho (A) = A|\mathcal{X}$, то $\rho$ — изометрический изоморфизм.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, $\phi : X \to \mathbb {F}$ — $\Omega$-измеримая функция, $1 \leq p \leq \infty$, и $\phi f \in L^p(\mu )$ всякий раз, когда $f \in L^p(\mu )$, то покажите, что $\phi \in L^\infty (\mu )$.

Проверьте утверждения в примере 2.2: если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $\phi \in L^\infty (X, \Omega , \mu )$, определим $M_\phi : L^p(X, \Omega , \mu ) \to L^p(X, \Omega , \mu )$, $1 \leq p \leq \infty$, формулой $M_\phi f = \phi f$ для всех $f$ из $L^p(X, \Omega , \mu )$. Тогда $M_\phi \in \mathcal{B}(L^p(X, \Omega , \mu ))$ и $\left\| M_\phi \right\| = \left\| \phi \right\|_{\infty }$.

Проверьте утверждения в примере 2.3: если $(X, \Omega , \mu )$, $k$, $c_1$ и $c_2$ таковы, как в примере II.1.6, и $1 \leq p \leq \infty$, то $K : L^p(\mu ) \to L^p(\mu )$, определённый формулой

для всех $f$ из $L^p(\mu )$ и $x$ из $X$, является ограниченным оператором на $L^p(\mu )$, и $\left\| K\right\| \leq c_1^{1/q} c_2^{1/p}$, где $1/p + 1/q = 1$.

Проверьте утверждения в примере 2.4: если $X$ и $Y$ — компактные пространства, и $\tau : Y \to X$ — непрерывное отображение, определим $A : C(X) \to C(Y)$ формулой $(Af)(y) = f(\tau (y))$. Тогда $A \in \mathcal{B}(C(X), C(Y))$ и $\left\| A\right\| = 1$.

Пусть $A$ и $\tau$ таковы, как в примере 2.4: $X$ и $Y$ — компактные пространства, $\tau : Y \to X$ — непрерывное отображение, и $A : C(X) \to C(Y)$ определён формулой $(Af)(y) = f(\tau (y))$.