Принцип равномерной ограниченности

Вот ещё одно доказательство ПРО с использованием теоремы Бэра о категориях. С обозначениями из (14.1) — то есть $\mathcal{X}$ — банахово пространство, $\mathcal{Y}$ — нормированное пространство, а $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ таково, что для каждого $x$ из $\mathcal{X}$, $\sup \left\{ \left\| Ax\right\| : A \in \mathcal{A}\right\} < \infty$ — пусть $B_n \equiv \left\{ x \in \mathcal{X} : \left\| Ax\right\| \leq n \text{ для всех } A \text{ из } \mathcal{A}\right\}$. По предположению, $\bigcup_{n=1}^{\infty } B_n = \mathcal{X}$. Теперь примените теорему Бэра о категориях.

Если $1 < p < \infty$ и $\left\{ x_n\right\} \subseteq l^p$, то $\sum_{j=1}^{\infty } x_n(j) y(j) \to 0$ для каждого $y$ из $l^q$, $1/p + 1/q = 1$, тогда и только тогда, когда $\sup_n \left\| x_n\right\|_{p} < \infty$ и $x_n(j) \to 0$ для каждого $j \geq 1$.

Если $\left\{ x_n\right\} \subseteq l^1$, то $\sum_{j=1}^{\infty } x_n(j) y(j) \to 0$ для каждого $y$ из $c_0$ тогда и только тогда, когда $\sup_n \left\| x_n\right\|_{1} < \infty$ и $x_n(j) \to 0$ для каждого $j \geq 1$.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — пространство с мерой, $1 < p < \infty$, и $\left\{ f_n\right\} \subseteq L^p(X, \Omega , \mu )$, то $\int f_n g \, d\mu \to 0$ для каждого $g$ из $L^q(\mu )$, $1/p + 1/q = 1$, тогда и только тогда, когда $\sup \left\{ \left\| f_n\right\|_{p} : n \geq 1\right\} < \infty$ и для каждого множества $E$ из $\Omega$ с $\mu (E) < \infty$, $\int_E f_n \, d\mu \to 0$ при $n \to \infty$.

Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, а $\left\{ f_n\right\}$ — последовательность из $L^1(X, \Omega , \mu )$, то $\int f_n g \, d\mu \to 0$ для каждого $g$ из $L^\infty (\mu )$ тогда и только тогда, когда $\sup \left\{ \left\| f_n\right\|_{1} : n \geq 1\right\} < \infty$ и $\int_E f_n \, d\mu \to 0$ для каждого $E$ из $\Omega$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, и пусть $\mathcal{E}$ — ортонормированный базис $\mathcal{H}$. Покажите, что последовательность $\left\{ h_n\right\}$ из $\mathcal{H}$ удовлетворяет $\left\langle h_n, h \right\rangle \to 0$ для каждого $h$ из $\mathcal{H}$ тогда и только тогда, когда $\sup \left\{ \left\| h_n\right\| : n \geq 1\right\} < \infty$ и $\left\langle h_n, e \right\rangle \to 0$ для каждого $e$ из $\mathcal{E}$.

Если $X$ локально компактно, а $\left\{ \mu_n\right\}$ — последовательность из $M(X)$, то $L(\mu_n) \to 0$ для каждого $L$ из $M(X)^*$ тогда и только тогда, когда $\sup \left\{ \left\| \mu_n\right\| : n \geq 1\right\} < \infty$ и $\mu_n(E) \to 0$ для каждого борелевского множества $E$.

В (14.6) — теореме Банаха—Штейнгауза, которая утверждает: если $\mathcal{X}$ и $\mathcal{Y}$ — банаховы пространства, а $\left\{ A_n\right\}$ — последовательность из $\mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$, обладающая тем свойством, что для каждого $x$ из $\mathcal{X}$ существует $y$ из $\mathcal{Y}$, такой что $\left\| A_n x - y\right\| \to 0$, то существует $A$ из $\mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$, такой что $\left\| A_n x - Ax\right\| \to 0$ для каждого $x$ из $\mathcal{X}$ и $\sup \left\| A_n\right\| < \infty$ — покажите, что $\left\| A\right\| \leq \liminf \left\| A_n\right\|$.

Если $(S, d)$ — метрическое пространство, а $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, будем говорить, что функция $f : S \to \mathcal{X}$ является липшицевой функцией, если существует константа $M > 0$, такая что $\left\| f(s) - f(t)\right\| \leq Md(s,t)$ для всех $s, t$ из $S$. Покажите, что если $f : S \to \mathcal{X}$ — функция, такая что для всех $L$ из $\mathcal{X}^*$, $L \circ f : S \to \mathbb {F}$ липшицева, то $f : S \to \mathcal{X}$ — липшицева функция.

Пусть $\mathcal{X}$ — банахово пространство, и предположим, что $\left\{ x_n\right\}$ — последовательность в $\mathcal{X}$, такая что для каждого $x$ из $\mathcal{X}$ существуют единственные скаляры $\left\{ \alpha_n\right\}$, такие что $\lim_{n \to \infty } \left\| x - \sum_{k=1}^{n} \alpha_k x_k\right\| = 0$. Такая последовательность называется базисом Шаудера.