Дополняемые подпространства банахова пространства

Если $\mathcal{X}$ — векторное пространство, а $\mathcal{M}$ — линейное многообразие в $\mathcal{X}$, покажите, что существует линейное многообразие $\mathcal{N}$ в $\mathcal{X}$, такое что $\mathcal{M} \cap \mathcal{N} = (0)$ и $\mathcal{M} + \mathcal{N} = \mathcal{X}$.

Пусть $\mathcal{X}$ — банахово пространство, и пусть $E : \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ — линейное отображение, такое что $E^2 = E$, и оба $\mathrm{ran}\, E$ и $\ker E$ замкнуты. Покажите, что $E$ непрерывен.

Докажите теорему 13.2:

Пусть $\mathcal{X}$ — банахово пространство; покажите, что если $\mathcal{M}$ — дополняемое подпространство $\mathcal{X}$, то каждое дополняющее подпространство изоморфно $\mathcal{X}/\mathcal{M}$.

Пусть $X$ — компактное множество, а $Y$ — замкнутое подмножество $X$. Одновременным продолжением для $Y$ называется ограниченное линейное отображение $T : C(Y) \to C(X)$, такое что для каждого $g$ из $C(Y)$, $T(g)|Y = g$. Пусть $C_0(X \setminus Y) = \left\{ f \in C(X) : f(y) = 0 \text{ для всех } y \text{ из } Y\right\}$. Покажите, что если существует одновременное продолжение для $Y$, то $C_0(X \setminus Y)$ дополняемо в $C(X)$.

Покажите, что если $Y$ — замкнутое подмножество $[0,1]$, то существует одновременное продолжение для $Y$ (см. упражнение 5). (Указание: представьте $[0,1] \setminus Y$ как объединение непересекающихся интервалов.)

Используя обозначения упражнения 5, покажите, что если $Y$ является ретрактом $X$, то $C_0(X \setminus Y)$ дополняемо в $C(X)$.