Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике

Предположим, что $\mathcal{X}$ и $\mathcal{Y}$ — банаховы пространства. Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$ и $\mathrm{ran}\, A$ — пространство второй категории, покажите, что $\mathrm{ran}\, A$ замкнуто.

Наделим и $C^{(1)}[0,1]$, и $C[0,1]$ супремум-нормой. Если $A : C^{(1)}[0,1] \to C[0,1]$ определён формулой $Af = f'$, покажите, что $A$ не ограничен.

Докажите предложение 12.7: если $\mathcal{X}$ и $\mathcal{Y}$ — нормированные пространства и $A : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$ — линейное преобразование, то $\mathrm{gra}\, A$ замкнут тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $x_n \to 0$ и $Ax_n \to y$, обязательно $y = 0$.

Пусть $\mathcal{X}$ — векторное пространство, и предположим, что $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ — две нормы на $\mathcal{X}$, а $\mathcal{T}_1$ и $\mathcal{T}_2$ — соответствующие топологии. Покажите, что если $\mathcal{X}$ полно относительно обеих норм и $\mathcal{T}_1 \supseteq \mathcal{T}_2$, то $\mathcal{T}_1 = \mathcal{T}_2$.

Пусть $\mathcal{X}$ и $\mathcal{Y}$ — банаховы пространства, и пусть $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X}, \mathcal{Y})$. Покажите, что существует константа $c > 0$, такая что $\left\| Ax\right\| \geq c \left\| x\right\|$ для всех $x$ из $\mathcal{X}$, тогда и только тогда, когда $\ker A = (0)$ и $\mathrm{ran}\, A$ замкнуто.

Пусть $X$ компактно, и предположим, что $\mathcal{X}$ — банахово подпространство $C(X)$. Если $E$ — замкнутое подмножество $X$, такое что для каждого $g$ из $C(E)$ существует $f$ из $\mathcal{X}$ с $f|E = g$, покажите, что существует константа $c > 0$, такая что для каждого $g$ из $C(E)$ существует $f$ из $\mathcal{X}$ с $f|E = g$ и $\max \left\{ \left|f(x)\right| : x \in X\right\} \leq c \max \left\{ \left|g(x)\right| : x \in E\right\}$.

Пусть $1 \leq p \leq \infty$, и предположим, что $(\alpha_{ij})$ — матрица, такая что $(Af)(i) = \sum_{j=1}^{\infty } \alpha_{ij} f(j)$ определяет элемент $Af$ пространства $l^p$ для каждого $f$ из $l^p$. Покажите, что $A \in \mathcal{B}(l^p)$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, $1 \leq p < \infty$, и предположим, что $k : X \times X \to \mathbb {F}$ — $\Omega \times \Omega$-измеримая функция, такая что для $f$ из $L^p(\mu )$ и п.в.$x$, $k(x, \cdot ) f(\cdot ) \in L^1(\mu )$, и $(Kf)(x) = \int k(x,y) f(y) \, d\mu (y)$ определяет элемент $Kf$ пространства $L^p(\mu )$. Покажите, что $K : L^p(\mu ) \to L^p(\mu )$ — ограниченный оператор.