Приложение: упорядоченные векторные пространства

Докажите предложение 9.3:

Докажите предложение 9.4: если $(\mathcal{X}, \leq )$ — упорядоченное векторное пространство, а $P$ — клин положительных элементов, то $\leq$ антисимметрично тогда и только тогда, когда $P \cap (-P) = (0)$.

Покажите, что $e$ является порядковой единицей для $(\mathcal{X}, \leq )$ тогда и только тогда, когда для каждого $x$ из $\mathcal{X}$ существует $\delta > 0$, такое что $e \pm tx \geq 0$ при $0 \leq t \leq \delta$.

Покажите, что $C(\mathbb {R})$, пространство всех непрерывных вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$, не имеет порядковой единицы.

Докажите (9.11): пусть $(\mathcal{X}, \leq )$ — упорядоченное векторное пространство, $\mathcal{Y}$ — линейное многообразие в $\mathcal{X}$, являющееся конфинальным, $f : \mathcal{Y} \to \mathbb {R}$ — положительный линейный функционал, и, для $x$ из $\mathcal{X}$,

тогда функция $q$ является сублинейным функционалом на $\mathcal{X}$.

Охарактеризуйте порядковые единицы $C_b(X)$. Всегда ли $C_b(X)$ имеет порядковую единицу?

Охарактеризуйте порядковые единицы $C_0(X)$, если $X$ локально компактно. Всегда ли $C_0(X)$ имеет порядковую единицу?

Пусть $\mathcal{X} = M_2(\mathbb {R})$, матрицы $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$. Определим $A$ из $M_2(\mathbb {R})$ как положительную, если $A = A^*$ и $\left\langle Ax, x \right\rangle \geq 0$ для всех $x$ из $\mathbb {R}^2$. Охарактеризуйте порядковые единицы $M_2(\mathbb {R})$.

Если $1 \leq p < \infty$ и $\mathcal{X} = L^p(0,1)$, определим $f \leq g$ как означающее $f(x) \leq g(x)$ п.в. Покажите, что $\mathcal{X}$ — упорядоченное векторное пространство, не имеющее порядковой единицы.