Теорема Хана–Банаха

Завершите доказательство леммы 6.3.

Приведите подробности доказательства следствия 6.5.

Покажите, что $c^*$ изометрически изоморфно $l^1$. Изометрически ли изоморфны $c$ и $c_0$?

Если $\mu$ — борелевская мера на $[0,1]$ и $\int x^n \, d\mu (x) = 0$ для всех $n \geq 0$, покажите, что $\mu = 0$.

Если $n \geq 1$, покажите, что существует мера $\mu$ на $[0,1]$, такая что для каждого многочлена $p$ степени не выше $n$,

Если $n \geq 1$, существует ли мера $\mu$ на $[0,1]$, такая что $p'(0) = \int p \, d\mu$ для каждого многочлена степени не выше $n$?

Существует ли мера $\mu$ на $[0,1]$, такая что $\int p \, d\mu = p'(0)$ для каждого многочлена $p$?

Пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, и определим $A(K)$ как $\left\{ f \in C(K) : f \text{ аналитична на int } K\right\}$. (Функции здесь комплекснозначны.) Покажите, что если $a \in K$, то существует вероятностная мера $\mu$, сосредоточенная на $\partial K$, такая что $f(a) = \int f \, d\mu$ для каждого $f$ из $A(K)$. (Вероятностная мера — это неотрицательная мера $\mu$, такая что $\left\| \mu \right\| = 1$.)

Если $K = \mathrm{cl}\, \mathbb {D}$ ($\mathbb {D} = \left\{ \left|z\right| < 1\right\}$) и $a \in K$, найдите меру $\mu$, существование которой было доказано в упражнении 8.

Пусть $P = \left\{ p|\partial \mathbb {D} : p = \text{аналитический многочлен}\right\}$, и рассмотрим $P$ как многообразие в $C(\partial \mathbb {D})$. Покажите, что если $\mu$ — вещественнозначная мера на $\partial \mathbb {D}$, такая что $\int p \, d\mu = 0$ для каждого $p$ из $P$, то $\mu = 0$. Приведите пример комплекснозначной меры $\mu$, такой что $\mu \neq 0$, но $\int p \, d\mu = 0$ для каждого $p$ из $P$.