Приложение: банаховы пределы

Если $L$ — банахов предел, покажите, что существуют $x$ и $y$ из $l^\infty$, такие что $L(xy) \neq L(x)L(y)$.

Пусть $X$ — множество, а $\Omega$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $X$. Предположим, что $\mu$ — комплекснозначная счётно-аддитивная мера, определённая на $\Omega$, такая что $\left\| \mu \right\| = \mu (X) < \infty$. Покажите, что $\mu (\Delta ) \geq 0$ для каждого $\Delta$ из $\Omega$. (Хотя это трудно увидеть сейчас, этот факт связан с доказательством пункта (c) теоремы 7.1 для комплексного случая.)

Покажите, что если $x \in l^\infty$, $\left\| x\right\|_{\infty } \leq 1$, то существует последовательность $\left\{ x_n\right\}$, $x_n$ из $l^\infty$, такая что $\left\| x_n\right\|_{\infty } \leq 1$, $\left\| x_n - x\right\|_{\infty } \to 0$, и каждое $x_n$ принимает лишь конечное число значений.