Элементарные свойства и примеры

Завершите доказательство предложения 1.3: если $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, то

Завершите доказательство предложения 1.5: если $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$ — две нормы на $\mathcal{X}$, то эти нормы эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют положительные константы $c$ и $C$, такие что

для всех $x$ из $\mathcal{X}$. (Импликация «существование констант $\Rightarrow$ эквивалентность» доказана в тексте; остаётся только обратная импликация.)

Для $1 \leq p < \infty$ и $x = (x_1, \ldots , x_d)$ из $\mathbb {F}^d$ определим $\left\| x\right\|_{p} \equiv \left[\sum_{j=1}^{d} \left|x_j\right|^p\right]^{1/p}$; определим $\left\| x\right\|_{\infty } \equiv \sup \left\{ \left|x_j\right| : 1 \leq j \leq d\right\}$. Покажите, что все эти нормы эквивалентны. Для $1 \leq p, q \leq \infty$, каковы наилучшие константы $c$ и $C$, такие что $c \left\| x\right\|_{p} \leq \left\| x\right\|_{q} \leq C \left\| x\right\|_{p}$ для всех $x$ из $\mathbb {F}^d$?

Если $1 \leq p \leq \infty$ и $\left\| \cdot \right\|_{p}$ определена на $\mathbb {R}^2$, как в упражнении 3, изобразите $\left\{ x \in \mathbb {R}^2 : \left\| x\right\|_{p} = 1\right\}$. Заметьте, что если $1 < p < \infty$, $\left\| x\right\|_{p} = \left\| y\right\|_{p} = 1$ и $x \neq y$, то при $0 < t < 1$, $\left\| tx + (1-t)y\right\|_{p} < 1$. Того же нельзя сказать при $p = 1, \infty$.

Пусть $c =$ множество всех последовательностей $\left\{ \alpha_n\right\}_1^\infty$, $\alpha_n$ из $\mathbb {F}$, таких что $\lim \alpha_n$ существует. Покажите, что $c$ — замкнутое подпространство $l^\infty$ и, следовательно, банахово пространство.

Пусть $X = \left\{ n^{-1} : n \geq 1\right\} \cup \left\{ 0\right\}$. Покажите, что $C(X)$ и пространство $c$ из упражнения 5 изометрически изоморфны.

Если $l^\infty (I)$ и $l^\infty (J)$ изометрически изоморфны, имеют ли $I$ и $J$ одинаковую мощность?

Покажите, что $l^\infty$ не сепарабельно.

Завершите доказательство предложения 1.7: если $X$ — локально компактное пространство и $C_0(X) =$ все непрерывные функции $f : X \to \mathbb {F}$, такие что для всех $\varepsilon > 0$ множество $\left\{ x \in X : \left|f(x)\right| \geq \varepsilon \right\}$ компактно, то $C_0(X)$ — замкнутое подпространство $C_b(X)$ и, следовательно, банахово пространство. (В тексте показано, что $C_0(X)$ замкнуто в $C_b(X)$; остаётся лишь факт, что $C_0(X)$ является линейным многообразием в $C_b(X)$.)

Проверьте утверждения в примере 1.10: пусть $n \geq 1$ и пусть $C^{(n)}[0,1] =$ совокупность функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$, таких что $f$ имеет $n$ непрерывных производных. Определим $\left\| f\right\| = \sup_{0 \leq k \leq n} \left\{ \sup \left\{ \left|f^{(k)}(x)\right| : 0 \leq x \leq 1\right\} \right\}$. Тогда $C^{(n)}[0,1]$ — банахово пространство.

Проверьте утверждения в примере 1.11: пусть $1 \leq p < \infty$ и $n \geq 1$, и пусть $W_p^n[0,1] =$ функции $f : [0,1] \to \mathbb {F}$, такие что $f$ имеет $n - 1$ непрерывных производных, $f^{(n-1)}$ абсолютно непрерывна, и $f^{(n)} \in L^p[0,1]$. Для $f$ из $W_p^n[0,1]$ определим

Тогда $W_p^n[0,1]$ — банахово пространство.

Пусть $X$ локально компактно, и пусть $X_\infty = X \cup \left\{ \infty \right\}$ — одноточечная компактификация $X$. Покажите, что $C_0(X)$ и $\left\{ f \in C(X_\infty ) : f(\infty ) = 0\right\}$ с нормой, унаследованной как подпространство $C(X_\infty )$, являются изометрически изоморфными банаховыми пространствами.

Пусть $X$ локально компактно, и определим $C_c(X)$ как непрерывные функции $f : X \to \mathbb {F}$, такие что $\mathrm{spt}\, f \equiv \mathrm{cl}\left\{ x \in X : f(x) \neq 0\right\}$ компактен ($\mathrm{spt}\, f$ — носитель $f$). Покажите, что $C_c(X)$ плотно в $C_0(X)$.

Если $W_p^n[0,1]$ определено, как в примере 1.11, и $f \in W_p^n[0,1]$, пусть $\vertiii {f} \equiv \left[\int \left|f(x)\right|^p \, dx\right]^{1/p} + \left[\int \left|f^{(n)}(x)\right|^p \, dx\right]^{1/p}$. Покажите, что $\vertiii {\cdot }$ эквивалентна норме, определённой на $W_p^n[0,1]$.

Пусть $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, и пусть $\hat{\mathcal{X}}$ — его пополнение как метрического пространства. Покажите, что $\hat{\mathcal{X}}$ — банахово пространство.

Покажите, что норма на $C([0,1]) = C_b([0,1])$ не порождается скалярным произведением, показав, что она не удовлетворяет тождеству параллелограмма.