Рефлексивные пространства

Покажите, что $(\mathcal{X}^*)^{**}$ и $(\mathcal{X}^{**})^*$ равны.

Покажите, что для локально компактного пространства $X$, $C_b(X)$ рефлексивно тогда и только тогда, когда $X$ конечно.

Пусть $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, и пусть $\rho_{\mathcal{X}} : \mathcal{X} \to \mathcal{X}^{**}$ и $\rho_{\mathcal{M}} : \mathcal{M} \to \mathcal{M}^{**}$ — естественные отображения. Если $i : \mathcal{M} \to \mathcal{X}$ — отображение включения, покажите, что существует изометрия $\phi : \mathcal{M}^{**} \to \mathcal{X}^{**}$, такая что диаграмма

коммутативна. Докажите, что $\phi (\mathcal{M}^{**}) = (\mathcal{M}^\perp )^\perp \equiv \left\{ x^{**} \in \mathcal{X}^{**} : x^{**}(\mathcal{M}^\perp ) = 0\right\}$.

Используя упражнение 3, покажите, что если $\mathcal{X}$ рефлексивно, то любое замкнутое подпространство $\mathcal{X}$ также рефлексивно. См. Янг [1967].