Факторпространства и произведения нормированных пространств

Покажите, что если $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, то (4.1) определяет норму на $\mathcal{X}/\mathcal{M}$, где (4.1) — это $\left\| x + \mathcal{M}\right\| = \inf \left\{ \left\| x+y\right\| : y \in \mathcal{M}\right\}$.

Докажите, что $\mathcal{X}$ — банахово пространство тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $\left\{ x_n\right\}$ — последовательность в $\mathcal{X}$, такая что $\sum \left\| x_n\right\| < \infty$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty } x_n$ сходится в $\mathcal{X}$.

Покажите, что если $(X, d)$ — метрическое пространство, а $\left\{ x_n\right\}$ — фундаментальная последовательность, для которой существует подпоследовательность $\left\{ x_{n_k}\right\}$, сходящаяся к $x_0$, то $x_n \to x_0$.

Найдите банахово пространство $\mathcal{X}$ и замкнутое подпространство $\mathcal{M}$, такие что естественное отображение $Q : \mathcal{X} \to \mathcal{X}/\mathcal{M}$ не является замкнутым отображением. Может ли естественное отображение вообще быть замкнутым отображением?

Докажите утверждение, обратное к (4.2b) — теорема 4.2 утверждает, что если $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$ и $\left\| x + \mathcal{M}\right\|$ определена, как в (4.1), то $\left\| \cdot \right\|$ — норма на $\mathcal{X}/\mathcal{M}$, а часть (b) утверждает, что если $\mathcal{X}$ — банахово пространство, то и $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ таково: если $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$, и оба $\mathcal{M}$ и $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ полны, то $\mathcal{X}$ полно. (Это пример так называемого результата «два из трёх». Если любые два из $\mathcal{X}, \mathcal{M}$ и $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ полны, то полно и третье.)

Пусть $\mathcal{M} = \left\{ x \in l^p : x(2n) = 0 \text{ для всех } n\right\}$, $1 \leq p \leq \infty$. Покажите, что $l^p/\mathcal{M}$ изометрически изоморфно $l^p$.

Пусть $X$ — нормальное локально компактное пространство, а $F$ — замкнутое подмножество $X$. Если $\mathcal{M} \equiv \left\{ f \in C_0(X) : f(x) = 0 \text{ для всех } x \text{ из } F\right\}$, то $C_0(X)/\mathcal{M}$ изометрически изоморфно $C_0(F)$.

Докажите предложение 4.4: пусть $\left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$ — совокупность нормированных пространств, и пусть $\mathcal{X} = \oplus_p \mathcal{X}_i$, $1 \leq p \leq \infty$, где

а $\oplus_\infty \mathcal{X}_i \equiv \left\{ x \in \prod_i \mathcal{X}_i : \left\| x\right\| \equiv \sup_i \left\| x(i)\right\| < \infty \right\}$. Тогда:

Сформулируйте и докажите вариант предложения 4.4 для $\oplus_0 \mathcal{X}_n$, где, если $\left\{ \mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2, \ldots \right\}$ — последовательность нормированных пространств,

с нормой, которую оно имеет как подпространство $\oplus_\infty \mathcal{X}_n$. (Предложение 4.4 утверждает: пусть $\left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$ — совокупность нормированных пространств, и пусть $\mathcal{X} = \oplus_p \mathcal{X}_i$, $1 \leq p \leq \infty$. Тогда (a) $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, и проекция $P_i : \mathcal{X} \to \mathcal{X}_i$ — непрерывное линейное отображение с $\left\| P_i(x)\right\| \leq \left\| x\right\|$ для каждого $x$ из $\mathcal{X}$; (b) $\mathcal{X}$ — банахово пространство тогда и только тогда, когда каждое $\mathcal{X}_i$ — банахово пространство; (c) каждая проекция $P_i$ является открытым отображением $\mathcal{X}$ на $\mathcal{X}_i$.)

Если $\left\{ \mathcal{X}_1, \ldots , \mathcal{X}_n\right\}$ — конечная совокупность нормированных пространств и $1 \leq p \leq \infty$, покажите, что нормы на $\oplus_p \mathcal{X}_k$ все эквивалентны.

Вот обобщение предложения 4.4. Предположим, что $\left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$ — совокупность нормированных пространств, а $Y$ — нормированное пространство, содержащееся в $\mathbb {F}^I$. Определим $\mathcal{X} \equiv \left\{ x \in \prod_i \mathcal{X}_i : \text{существует } y \text{ из } Y \text{ такой, что } \left\| x(i)\right\| \leq y(i) \text{ для всех } i\right\}$. Если $x \in \mathcal{X}$, определим $\left\| x\right\| \equiv \inf \left\{ \left\| y\right\| : \left\| x(i)\right\| \leq y(i) \text{ для всех } i\right\}$. Тогда $(\mathcal{X}, \left\| \cdot \right\| )$ — нормированное пространство. Дайте необходимые и достаточные условия на $Y$, при которых каждая из частей (4.4) верна для $\mathcal{X}$.

Пусть $\mathcal{X}$ — нормированное пространство и $\mathcal{M} \leq \mathcal{X}$.

Пусть $\left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$ — совокупность ненулевых нормированных пространств. Для $1 \leq p < \infty$ положим $\mathcal{X} = \oplus_p \mathcal{X}_i$. Покажите, что $\mathcal{X}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда $I$ счётно и каждое $\mathcal{X}_i$ сепарабельно. Покажите, что $\oplus_\infty \mathcal{X}_i$ сепарабельно тогда и только тогда, когда $I$ конечно и каждое $\mathcal{X}_i$ сепарабельно.

Покажите, что $\oplus_0 \mathcal{X}_n$ сепарабельно тогда и только тогда, когда каждое $\mathcal{X}_n$ сепарабельно.

Пусть $J \subseteq I$, и $\mathcal{X} \equiv \oplus_p \left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$, $\mathcal{M} \equiv \left\{ x \in \mathcal{X} : x(j) = 0 \text{ при } j \text{ из } J\right\}$. Покажите, что $\mathcal{X}/\mathcal{M}$ изометрически изоморфно $\oplus_p \left\{ \mathcal{X}_j : j \in J\right\}$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, и предположим, что $\mathcal{M} \leq \mathcal{H}$. Покажите, что если $Q : \mathcal{H} \to \mathcal{H}/\mathcal{M}$ — естественное отображение, то $Q : \mathcal{M}^\perp \to \mathcal{H}/\mathcal{M}$ — изометрический изоморфизм.