Конечномерные нормированные пространства

Покажите, что если $\mathcal{X}$ — локально компактное нормированное пространство, то $\mathcal{X}$ конечномерно. (Этот же результат, принадлежащий Ф. Риссу, справедлив в более общих топологических векторных пространствах — см. определение в IV.1.1. Красивое доказательство этого факта см. у Питкэрна [1966].)

Пусть $\mathcal{X}$ — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {F}$ с базисом Гамеля $\left\{ e_1, \ldots , e_d\right\}$, и для $x = \sum_{j=1}^{d} x_j e_j$ определим $\left\| x\right\|_{\infty } \equiv \max \left\{ \left|x_j\right| : 1 \leq j \leq d\right\}$, как в доказательстве теоремы 3.1. Покажите, что $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ является нормой.