Линейные функционалы

Завершите доказательство предложения 5.4: если $\mathcal{X}$ — нормированное пространство, то $\mathcal{X}^*$ — банахово пространство. (В тексте показано, что $\mathcal{X}^*$ полно; остаётся лишь факт, что $\mathcal{X}^*$ — нормированное пространство.)

Покажите, что $\mathcal{X}^*$ — нормированное пространство.

Приведите пример пространства с мерой $(X, \Omega , \mu )$, не являющегося $\sigma$-конечным, для которого заключение теоремы 5.6 неверно, где теорема 5.6 утверждает: если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $g \in L^\infty (X, \Omega , \mu )$, определим $F_g : L^1(\mu ) \to \mathbb {F}$ формулой $F_g(f) = \int fg \, d\mu$. Тогда $F_g \in L^1(\mu )^*$, и отображение $g \mapsto F_g$ задаёт изометрический изоморфизм $L^\infty (\mu )$ на $L^1(\mu )^*$.

Пусть $\left\{ \mathcal{X}_i : i \in I\right\}$ — совокупность нормированных пространств. Если $1 \leq p < \infty$, покажите, что сопряжённое пространство к $\oplus_p \mathcal{X}_i$ изометрически изоморфно $\oplus_q \mathcal{X}_i^*$, где $1/p + 1/q = 1$.

Если $\mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2, \ldots$ — нормированные пространства, покажите, что $(\oplus_0 \mathcal{X}_n)^*$ изометрически изоморфно $\oplus_1 \mathcal{X}_n^*$.

Пусть $n \geq 1$ и пусть $C^{(n)}[0,1]$ определено, как в примере 1.10 (совокупность функций $f : [0,1] \to \mathbb {F}$, имеющих $n$ непрерывных производных, с нормой $\left\| f\right\| = \sup_{0 \leq k \leq n}\left\{ \sup \left\{ \left|f^{(k)}(x)\right| : 0 \leq x \leq 1\right\} \right\}$). Покажите, что $\left\| f\right\| = \sum_{k=0}^{n-1} \left|f^{(k)}(0)\right| + \sup \left\{ \left|f^{(n)}(x)\right| : 0 \leq x \leq 1\right\}$ — эквивалентная норма на $C^{(n)}[0,1]$. Покажите, что $L \in (C^{(n)}[0,1])^*$ тогда и только тогда, когда существуют скаляры $\alpha_0, \alpha_1, \ldots , \alpha_{n-1}$ и мера $\mu$ на $[0,1]$, такие что $L(f) = \sum_{k=0}^{n-1} \alpha_k f^{(k)}(0) + \int f^{(n)} \, d\mu$. Если $C^{(n)}[0,1]$ наделено этой новой нормой, найдите формулу для $\left\| L\right\|$ через $\left|\alpha_0\right|, \left|\alpha_1\right|, \ldots , \left|\alpha_{n-1}\right|$ и $\left\| \mu \right\|$?

Наделим $\mathcal{X} = C([0,1])$ нормой $\left\| f\right\| = \int \left|f(t)\right| \, dt$ и определим $L : \mathcal{X} \to \mathbb {F}$ формулой $L(f) = f(\tfrac {1}{2})$. Покажите напрямую (не используя теорему 5.6), что $L$ не ограничен. Теперь докажите это как следствие из (5.6), где теорема 5.6 утверждает: если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $g \in L^\infty (X, \Omega , \mu )$, определим $F_g : L^1(\mu ) \to \mathbb {F}$ формулой $F_g(f) = \int fg \, d\mu$. Тогда $F_g \in L^1(\mu )^*$, и отображение $g \mapsto F_g$ задаёт изометрический изоморфизм $L^\infty (\mu )$ на $L^1(\mu )^*$.